Aplikácia určitého integrálu

9000065610

Časť: 
A
Vypočítajte pomocou určitého integrálu obsah trojuholníka, ktorý je popísaný nerovnicami: \(y > 0\), \(y < x + 3\), \(y < 3 - x\).
\(\int _{-3}^{0}(x + 3)\, \mathrm{d}x +\int _{ 0}^{3}(3 - x)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{0}^{3}(x + 3)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{-3}^{3}(3 - x)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{-3}^{0}(3 - x)\, \mathrm{d}x +\int _{ 0}^{3}(x + 3)\, \mathrm{d}x\)

1003068201

Časť: 
B
Hodnotou výrazu \[ \frac{4\pi}9\int\limits_0^3 x^2\mathrm{d}x \] je číslo vyjadrujúce:
objem kužeľa s polomerom podstavy \( 2\,\mathrm{cm} \) a výškou \( 3\,\mathrm{cm} \).
objem kužeľa s polomerom podstavy \( 3\,\mathrm{cm} \) a výškou \( 2\,\mathrm{cm} \).
objem guľovej úsečky, ktorá je časťou gule s polomerom \( \frac23\,\mathrm{cm} \) a má výšku \( 3\,\mathrm{cm} \).
objem guľového úseku, ktorý je časťou gule s polomerom \( 3\,\mathrm{cm} \) a má výšku \( \frac23\,\mathrm{cm} \).

1003068202

Časť: 
B
Hodnotou výrazu \[ \pi\cdot\int\limits_0^6\left[9-(x-3)^2\right]\,\mathrm{d}x \] je číslo vyjadrujúce:
objem gule s polomerom \( 3\,\mathrm{cm} \).
objem gule s polomerom \( 6\,\mathrm{cm} \).
objem gule s priemerom \( 3\,\mathrm{cm} \).
objem pologule s polomerom \( 3\,\mathrm{cm} \).

1003118702

Časť: 
B
Pomocou určitého integrálu sa dá vypočítať objem gule s polomerom \( 3 \). Ktorý z uvedených vzorcov sa nedá použiť?
\( \int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\int\limits_{0}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\int\limits_{-3}^3\left(-\sqrt{9-x^2}\right)^2\,\mathrm{d}x \)

1003118703

Časť: 
B
Pravouhlý lichobežník je ohraničený priamkami \( y=ax+1 \), \( x=0 \), \( x=6 \) a osou \( x \). Jeho rotáciou okolo osy \( x \) vznikne zrezaný kužeľ. Určte hodnotu parametra \( a > 0 \) tak, aby bol objem tohoto zrezaného kužeľa \( 26\pi \).
\( a=\frac13 \)
\( a=\frac12 \)
\( a=3 \)
\( a=2 \)

1003118705

Časť: 
B
Peter a Jana počítali objem rotačného telesa použitím určitého integrálu. Peter počítal objem telesa vzniknutého rotáciou úsečky s krajnými bodmi \( [0;1] \) a \( [5;4] \) okolo osy \( x \). Jana počítala objem telesa vzniknutého rotáciou úsečky s krajnými bodmi \( [0;3] \) a \( [5;0] \) tiež okolo osy \( x \). Nemohli sa však dohodnúť pri porovnávaní vypočítaných objemov. Ktoré z uvedených tvrdení je pravdivé?
Petrovo teleso má objem o \( 20\pi \) väčší.
Janine teleso má objem o \( 20\pi \) väčší.
Obidve telesa majú rovnaký objem.
Rozdiel medzi objemami Petrovho a Janinho telesa je \( 10\pi \).

1003118706

Časť: 
B
Ktorý z uvedených vzorcov sa nedá použiť pre výpočet objemu zrezaného kužeľa s výškou \( 4\,\mathrm{cm} \), ak majú jeho podstavy priemery \( 2\,\mathrm{cm} \) a \( 10\,\mathrm{cm} \)?
\( V=\pi\int\limits_0^4(5-x)\,\mathrm{d}x \)
\( V=\pi\int\limits_0^4(5-x)^2\mathrm{d}x \)
\( V=\frac{\pi}3\cdot4\cdot(25+5+1) \)
\( V=\frac{\pi}3\cdot25\cdot5-\frac{\pi}3\cdot1\cdot1 \)

1103068301

Časť: 
B
Ktorý vzorec sa dá použiť pre výpočet objemu kužeľa z obrázku?
\( \pi\cdot\int\limits_0^4\left(-\frac14x+1\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^1\left(-4x+4\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\cdot\int\limits_0^4\left(-\frac14x+1\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\cdot\int\limits_0^1\left(-4x+4\right)^2\,\mathrm{d}x \)

1103068302

Časť: 
B
Ktorý vzorec sa dá použiť pre výpočet objemu valca z obrázku? Body \( [0; 0; 0] \) a \( [4;0;0] \) sú stredy podstáv.
\( \pi\cdot\int\limits_0^43^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^34^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^43\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_{-4}^49\,\mathrm{d}x \)