Równania i nierówności z pierwiastkami

9000034901

Część: 
A
Znajdź dziedzinę podanego wyrażenia. \[ \sqrt{\left (2x - 3 \right ) \left (3x + 1 \right )} \]
\(\left (-\infty ;-\frac{1} {3}\right ] \cup \left [ \frac{3} {2};\infty \right )\)
\(\left [ -\frac{1} {3}; \frac{3} {2}\right ] \)
\(\left (-\frac{1} {3}; \frac{3} {2}\right )\)
\(\left (-\infty ;-\frac{1} {3}\right )\cup \left (\frac{3} {2};\infty \right )\)

9000034903

Część: 
A
Znajdź wszystkie wartości \(x\in \mathbb{R}\), dla których podane wyrażenie jest nieokreślone. \[ \sqrt{\left (3x + 4 \right ) \left (\frac{1} {5} - x\right )} \]
\(\left (-\infty ;-\frac{4} {3}\right )\cup \left (\frac{1} {5};\infty \right )\)
\(\left [ -\frac{4} {3}; \frac{1} {5}\right ] \)
\(\left (-\infty ;-\frac{4} {3}\right ] \cup \left [ \frac{1} {5};\infty \right )\)
\(\left (-\frac{4} {3}; \frac{1} {5}\right )\)

9000033702

Część: 
A
Znajdź dziedzinę podanego wyrażenia. \[ \sqrt{-x^{2 } + 7x - 12} -\frac{1} {x} \]
\([ 3;4] \)
\(\mathbb{R}\setminus \left \{0\right \}\)
\(\mathbb{R}\setminus \left \{0;3;4\right \}\)
\(\left (3;4\right )\)
\(\left (-\infty ;3\right )\cup \left (4;\infty \right )\)
\(\left (-\infty ;3] \cup [ 4;\infty \right )\)

9000024804

Część: 
B
Ile rozwiązań nierówności \[ \sqrt{x + 17} > x - 3 \] należy do zbioru \(\mathbb{N}\)?
Siedem rozwiązań w zbiorze \(\mathbb{N}\).
Brak rozwiązań w zbiorze \(\mathbb{N}\).
Pięć rozwiązań w zbiorze \(\mathbb{N}\).
Więcej niż siedem rozwiązań w zbiorze \(\mathbb{N}\).

9000024805

Część: 
C
Ciało spadało z prędkością \(60\, \mathrm{m}\mathrm{s}^{-1}\). Określ początkową wysokość \(h\), jeśli zależność pomiędzy prędkością a początkową wysokością \(h\) jest równa \(v = \sqrt{2hg}\). Użyj \(g = 10\, \mathrm{m}\mathrm{s}^{-2}\) jako wartości przyspieszenia ziemskiego.
Początkowa wysokość mieści się pomiędzy \(150\, \mathrm{m}\) a \(200\, \mathrm{m}\).
Początkowa wysokość jest mniejsza niż \(100\, \mathrm{m}\).
Początkowa wysokość mieści się pomiędzy \(100\, \mathrm{m}\) i \(150\, \mathrm{m}\).
Początkowa wysokość jest większa niż \(200\, \mathrm{m}\).

9000024802

Część: 
A
Rozważ równanie \[ \sqrt{x^{2 } - 2x + 1} = x + 2 \] i równanie, które powstało poprzez podniesienie do kwadratu obu stron podanego równania \[ \left (\sqrt{x^{2 } - 2x + 1}\right )^{2} = (x + 2)^{2}. \] Które zdanie jest prawdziwe?
Obydwa równania są równoważne tylko wtedy, gdy \(x\geq - 2\).
Obydwa równania są równoważne.
Obydwa równania są równoważne tylko wtedy, gdy \(x\leq - 2\).
Żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdą.

9000024803

Część: 
A
Usunięcie pierwiastka z równania poprzez podniesienie obydwu stron tego równania do kwadratu może wzbogacić zbiór rozwiązań tego równania. Konieczne będzie jednak sprawdzenie rozwiązań powstałego równania w pierwotnej postaci tego równania. Określ, który z poniższych wniosków jest zgodny z prawdą dla podanego równania. \[ -\sqrt{x^{2 } - 2x + 1} = x \]
Jeśli szukamy rozwiązań równania w zbiorze \(\mathbb{R}^{-}\), wtedy podniesienie obydwu stron równania do kwadratu daje nam równoważne równanie. Sprawdzanie rozwiązań w tym przypadku nie jest konieczne.
Jeśli szukamy rozwiązań równania w zbiorze \(\mathbb{R}^{+}\), wtedy podniesienie obydwu stron równania do kwadratu daje nam równoważne równanie. Sprawdzanie rozwiązań w tym przypadku nie jest konieczne.
Jeśli szukamy rozwiązań równania w zbiorze \(\mathbb{R}\), wtedy podniesienie obydwu stron równania do kwadratu daje nam równoważne równanie. Sprawdzanie rozwiązań w tym przypadku nie jest konieczne.
Żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.

9000024807

Część: 
C
Przedmiot wisi na sznurku o długości \(l_{1}\). Zachodzi zależność pomiędzy długością sznurka \(l\) czasem ruchu \(T\) opisana wzorem \[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{l} {g}}, \] gdzie \(g\) jest standardowym przyspieszeniem ziemskim. Jak należy dostosować długość sznurka, by czas ruchu się podwoił?
Należy wydłużyć sznurek o \(3\cdot l_{1}\), i.e. \(l_{2} = l_{1} + 3l_{1}\).
Należy podwoić długość tzn. \(l_{2} = 2l_{1}\).
Nowa długość sznurka będzie połową początkowej długości \(l_{2} = \frac{1} {2}l_1\).
Należy skrócić sznurek o \(3\cdot l_{1}\), i.e. \(l_{2} = l_{1} - 3l_{1}\).