Równania i nierówności z pierwiastkami

9000024803

Część: 
A
Usunięcie pierwiastka z równania poprzez podniesienie obydwu stron tego równania do kwadratu może wzbogacić zbiór rozwiązań tego równania. Konieczne będzie jednak sprawdzenie rozwiązań powstałego równania w pierwotnej postaci tego równania. Określ, który z poniższych wniosków jest zgodny z prawdą dla podanego równania. \[ -\sqrt{x^{2 } - 2x + 1} = x \]
Jeśli szukamy rozwiązań równania w zbiorze \(\mathbb{R}^{-}\), wtedy podniesienie obydwu stron równania do kwadratu daje nam równoważne równanie. Sprawdzanie rozwiązań w tym przypadku nie jest konieczne.
Jeśli szukamy rozwiązań równania w zbiorze \(\mathbb{R}^{+}\), wtedy podniesienie obydwu stron równania do kwadratu daje nam równoważne równanie. Sprawdzanie rozwiązań w tym przypadku nie jest konieczne.
Jeśli szukamy rozwiązań równania w zbiorze \(\mathbb{R}\), wtedy podniesienie obydwu stron równania do kwadratu daje nam równoważne równanie. Sprawdzanie rozwiązań w tym przypadku nie jest konieczne.
Żadne z powyższych stwierdzeń nie jest prawdziwe.

9000024807

Część: 
C
Przedmiot wisi na sznurku o długości \(l_{1}\). Zachodzi zależność pomiędzy długością sznurka \(l\) czasem ruchu \(T\) opisana wzorem \[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{l} {g}}, \] gdzie \(g\) jest standardowym przyspieszeniem ziemskim. Jak należy dostosować długość sznurka, by czas ruchu się podwoił?
Należy wydłużyć sznurek o \(3\cdot l_{1}\), i.e. \(l_{2} = l_{1} + 3l_{1}\).
Należy podwoić długość tzn. \(l_{2} = 2l_{1}\).
Nowa długość sznurka będzie połową początkowej długości \(l_{2} = \frac{1} {2}l_1\).
Należy skrócić sznurek o \(3\cdot l_{1}\), i.e. \(l_{2} = l_{1} - 3l_{1}\).

9000024808

Część: 
C
Które z poniższych zdań dotyczących poniższego równania jest prawdziwe? \[ \sqrt{4x^{2 } - \sqrt{8x + 5}} = 2x + 1 \]
Równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim liczba ujemna.
Równanie ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków.
Równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim liczba dodatnia.
Równanie nie ma rozwiązania.

9000023809

Część: 
A
Które z poniższych stwierdzeń dotyczących podanego równania jest prawdziwe? \[ \sqrt{16 - 5x} = 2 - x \]
Rozwiązaniem równania jest \(|x| > 3\).
Rozwiązaniem równania jest \(|x| < 3\).
Rozwiązaniem równania jest \(|x + 1| < 3\).
Rozwiązaniem równania jest \(|x + 1| > 3\).

9000023810

Część: 
A
Oznaczając rozwiązanie równania \[ \sqrt{6 - 2x} = -x - 1 \] symbolem \(x_{1}\) a rozwiązanie innego równania symbolem \(x_{2}\) \[ \sqrt{2x + 6} = 9 - x. \] Wybierz poprawną odpowiedź dotyczącą rozwiązań \(x_{1}\) i \(x_{2}\).
\(|x_{1}| = |x_{2}|\)
\(|x_{1}| < |x_{2}|\)
\(|x_{1}| > |x_{2}|\)
\(5|x_{1}| = |x_{2}|\)

9000023709

Część: 
A
Które z poniższych stwierdzeń dotyczących danej pary równań jest prawdziwe? \[ \begin{aligned} \sqrt{ 5 - x} & = 2 &\text{(1)} \\ \sqrt{x + 5} & = 4 &\text{(2)} \end{aligned} \]
Rozwiązanie (1) jest mniejsze niż rozwiązanie (2).
Rozwiązanie obydwu równań są liczbami pierwszymi.
Rozwiązanie (1) jest większe niż rozwiązanie (2).
Rozwiązanie (1) jest równe rozwiązaniu (2).