Punkty i wektory

1103020804

Część: 
A
Dany jest równoległobok \( ABCD \), gdzie \( G \) to środek \( CD \), \( F \) to środek \( BC \) i \( \overrightarrow{u}=\overrightarrow{CG} \), \( \overrightarrow{v}=\overrightarrow{CF} \), \( \overrightarrow{a}=\overrightarrow{AD} \) i \( \overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC} \). Przedstaw wektory \( \overrightarrow{a} \) i \( \overrightarrow{b} \) jako liniową kombinację wektorów \( \overrightarrow{u} \) i \( \overrightarrow{v} \).
\( \overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{v};\ \overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v} \)
\( \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{u};\ \overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v} \)
\( \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{u};\ \overrightarrow{b}=-\sqrt2\overrightarrow{u}-\sqrt2\overrightarrow{v} \)
\( \overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{v};\ \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v} \)

1103020801

Część: 
A
Wskaż współrzędne środka odcinków \( AB \), \( BC \), \( AC \). Współrzędne punktów \( A \), \( B \) i \( C \) wskazano na rysunku.
\( S_{AB}=\left[-\frac12;1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4;2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac12; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[-\frac32;2 \right]\text{, }\ S_{BC}=[1;3 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac52; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[\frac12;1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4;2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[-\frac12; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[1;-\frac12 \right]\text{, }\ S_{BC}=[2;4 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[4;\frac12\right] \)

1103020808

Część: 
A
Dano trójkąt \( ABC \). Na rysunku wskazano środek boku \( BC \) i środek ciężkości trójkąta. Z poniższych zależności wybierz tą, która nie jest prawdziwa.
\( \overrightarrow{ST}= \frac12 \overrightarrow{AT} \)
\( \overrightarrow{AT}= \frac23\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{ST} = -\frac13\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{SA}= -3\overrightarrow{TS} \)

1003030605

Część: 
B
Dane są wektory \( \overrightarrow{a}=(3;-5) \) i \( \overrightarrow{b}=(6;-10) \). Wskaż wszystkie wektory \( \overrightarrow{c} \) tak, aby \[ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=11\ \text{ i }\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=22\text{ .} \]
\( \overrightarrow{c}=(2+5k;-1+3k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}_1=(7;2);\ \overrightarrow{c}_2=(-7;-2) \)
\( \overrightarrow{c}=(2k;-k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}_1=(2;-1);\ \overrightarrow{c}_2=(-2;1) \)

1003030604

Część: 
B
Podano \( \overrightarrow{a}=(2;- 3) \) i \( \overrightarrow{b}=(3;-2) \). Wskaż wszystkie wektory \( \overrightarrow{c} \) tak, aby \[ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=8\ \text{ i }\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=27. \]
\( \overrightarrow{c}=(13;6) \)
\( \overrightarrow{c_1}=(13;6);\ \overrightarrow{c_2}=(-13;-6) \)
\( \overrightarrow{c}=(13k;6k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}=(-13;-6) \)