Punkty i wektory

1103030704

Część: 
A
Dane są punkty \( A = [2;1] \), \( B = [4;-1] \), i \( T = [6;2] \), gdzie punkt \( T \) to środek ciężkości trójkąta \( ABC \). Oblicz długość środkowej trójkąta \( ABC \) na bok \( AC \).
\( |t_b|=\frac{\sqrt{117}}2 \)
\( |t_b|=\frac{\sqrt{45}}2 \)
\( |t_b|=\frac{\sqrt{153}}2 \)
\( |t_b|=\sqrt{117} \)

1103030703

Część: 
A
Dane są punkty \( A = [2;1] \), \( B = [4;-1] \), i \( T = [6;2] \), punkt \( T \) to środek ciężkości trójkąta \( ABC \). Określ współrzędne punktu \( C \), który jest wierzchołkiem trójkąta \( ABC \).
\( C = [12;6] \)
\( C = [8;4] \)
\( C = [9;6] \)
\( C = [8;5] \)

1103030701

Część: 
A
Dane są punkty \( A = [1;-1;2] \), \( B = [0;5;-3] \), \( S = [2;0;5] \). Punkt \( S \) to środek równoległoboku \( ABCD \). Wyznacz współrzędne wierzchołków \( C \) i \( D \).
\( C = [3;1;8]; D = [4;-5;13] \)
\( C = [4;-5;13]; D = [3;1;8] \)
\( C = [1;1;3]; D = [2;-5;8] \)
\( C = [-3;-1;-8]; D = [-4;5;-13] \)

1003020901

Część: 
C
Dane są wektory: \(\vec{a}=(1;3;-1)\), \(\vec{b}=(0;3;1)\), \(\vec{c}=(-1;2;2)\). Oblicz \(\vec{a}\times\vec{b}\) i \(\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\).
\(\vec{a}\times\vec{b}=(6;-1;3); \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=-2\)
\(\vec{a}\times\vec{b}=8; \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=(-8,16,16)\)
\(\vec{a}\times\vec{b}=(-6;1;-3); \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=2\)
\(\vec{a}\times\vec{b}=\sqrt{46}; \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=2\)

9000108701

Część: 
B
Wskaż wszystkie wektory, które są prostopadłe do wektora \(\vec{u} = (3;4)\), a ich długości wynosi \(1\).
\(\left (\frac{4} {5};-\frac{3} {5}\right )\), \(\left (-\frac{4} {5}; \frac{3} {5}\right )\)
\(\left (\frac{4} {7};-\frac{3} {7}\right )\), \(\left (-\frac{4} {7}; \frac{3} {7}\right )\)
\(\left ( \frac{1} {\sqrt{10}};- \frac{3} {\sqrt{10}}\right )\), \(\left (- \frac{1} {\sqrt{10}}; \frac{3} {\sqrt{10}}\right )\)
\(\left (\frac{4} {5}; \frac{3} {5}\right )\), \(\left (-\frac{4} {5};-\frac{3} {5}\right )\)

9000108804

Część: 
B
Wyznacz współrzędne punktu \(A^{\prime}\), który powstaje przez obrót punktu \(A = [3;2]\) wokół \(B = [1;1]\) o kąt \(60^{\circ }\). Weź pod uwagę zarówno dodatni, jak i ujemny kąt.
\(\left [2\pm \frac{\sqrt{3}} {2} ; \frac{3} {2} \mp \sqrt{3}\right ]\)
\(\left [1\pm \frac{\sqrt{3}} {2} ; \frac{1} {2} \mp \sqrt{3}\right ]\)
\(\left [2\pm \frac{\sqrt{2}} {2} ; \frac{3} {2} \mp \sqrt{2}\right ]\)
\(\left [1\pm \frac{\sqrt{2}} {2} ; \frac{1} {2} \mp \sqrt{2}\right ]\)