Punkty i wektory

1103030705

Część: 
A
Dany jest trójkąt KLM i wektory \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{c} \) w układzie współrzędnych. Punkt T to środek ciężkości trójkąta KLM. Przedstaw wektor \( \overrightarrow{x} \), gdzie \( \overrightarrow{x}=\overrightarrow{KT} \) jest liniową kombinacją \( \overrightarrow{a} \) i \( \overrightarrow{c} \) i oblicz \( \left|\overrightarrow{x}\right| \).
\( \overrightarrow{x}=\frac13 \overrightarrow{a}+\frac13 \overrightarrow{c} \), \( \left|\overrightarrow{x}\right|=5 \)
\( \overrightarrow{x}=\frac23 \overrightarrow{a}+\frac23 \overrightarrow{c} \), \( \left|\overrightarrow{x}\right|=10 \)
\( \overrightarrow{x}=\frac12 \overrightarrow{a}+\frac12 \overrightarrow{c} \), \( \left|\overrightarrow{x}\right|=\frac{15}2 \)
\( \overrightarrow{x}=\frac14 \overrightarrow{a}+\frac14 \overrightarrow{c} \), \( \left|\overrightarrow{x}\right|=\frac{225}{12} \)

1103030704

Część: 
A
Dane są punkty \( A = [2;1] \), \( B = [4;-1] \), i \( T = [6;2] \), gdzie punkt \( T \) to środek ciężkości trójkąta \( ABC \). Oblicz długość środkowej trójkąta \( ABC \) na bok \( AC \).
\( |t_b|=\frac{\sqrt{117}}2 \)
\( |t_b|=\frac{\sqrt{45}}2 \)
\( |t_b|=\frac{\sqrt{153}}2 \)
\( |t_b|=\sqrt{117} \)

1103030703

Część: 
A
Dane są punkty \( A = [2;1] \), \( B = [4;-1] \), i \( T = [6;2] \), punkt \( T \) to środek ciężkości trójkąta \( ABC \). Określ współrzędne punktu \( C \), który jest wierzchołkiem trójkąta \( ABC \).
\( C = [12;6] \)
\( C = [8;4] \)
\( C = [9;6] \)
\( C = [8;5] \)

1103030701

Część: 
A
Dane są punkty \( A = [1;-1;2] \), \( B = [0;5;-3] \), \( S = [2;0;5] \). Punkt \( S \) to środek równoległoboku \( ABCD \). Wyznacz współrzędne wierzchołków \( C \) i \( D \).
\( C = [3;1;8]; D = [4;-5;13] \)
\( C = [4;-5;13]; D = [3;1;8] \)
\( C = [1;1;3]; D = [2;-5;8] \)
\( C = [-3;-1;-8]; D = [-4;5;-13] \)

1003020901

Część: 
C
Dane są wektory: \(\overrightarrow{a}=(1;3;-1)\), \(\overrightarrow{b}=(0;3;1)\), \(\overrightarrow{c}=(-1;2;2)\). Oblicz \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\) i \(\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\).
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(6;-1;3); \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=-2\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=8; \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=(-8,16,16)\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(-6;1;-3); \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=2\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\sqrt{46}; \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=2\)

9000108803

Część: 
B
Dany jest wektor \(\vec{u} = (\sqrt{3};1)\). Wyznacz wszystkie wektory \(\vec{w}\) zakładając, że \(\left |\vec{w}\right | = 4\), a miara kąta pomiędzy \(\vec{u}\) i \(\vec{w}\) wynosi \(60^{\circ }\).
\(\vec{w} = (0;4)\), \(\vec{w} = (2\sqrt{3};-2)\)
\(\vec{w} = (0;-4)\), \(\vec{w} = (\sqrt{7};-3)\)
\(\vec{w} = (0;4)\), \(\vec{w} = (\sqrt{7};3)\)
\(\vec{w} = (\sqrt{5};\sqrt{11})\), \(\vec{w} = (2\sqrt{3};-2)\)