Krzywe stożkowe

9000123102

Część: 
C
Oznacz zdanie prawdziwe określające elipsę. \[ x^{2} + 4y^{2} - 8y = 0. \]
Styczna do elipsy może przechodzić przez każdy punkt na prostej \(y = -1\).
Styczna do elipsy może przechodzić przez każdy punkt na prostej \(x = 1\).
Styczna do elipsy może przechodzić przez punkt \([-1;1]\).
Styczna do elipsy może przechodzić przez każdy punkt na prostej \(y = 1\).

9000123103

Część: 
C
Dana elipsa \[ 5x^{2} + 9y^{2} = 45 \] ma styczną t \(2x + 3y = 9\). Wskaż wartość rzeczywistą parametru \(k\) tak, aby prosta \(y = kx + 3\) była sieczną elipsy.
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right )\cup \left (\frac{2} {3};\infty \right )\)
\(k\in \left [ -\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right ] \)
\(k\in \left (-\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right )\)
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right ] \cup \left [ \frac{2} {3};\infty \right )\)

9000123107

Część: 
C
Wskaż prostą mającą dokładnie jeden punkt przecięcia z hiperbolą \[ x^{2} - y^{2} = 5 \] tak, aby prosta nie była styczną do hiperboli.
\(p\colon \frac{x} {5} + \frac{y} {5} = 1\)
\(p\colon y = 5x\)
\(p\colon 2x + y = 5\)
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 1 & \\y & = -1 + t\text{; }t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000123108

Część: 
C
Wskaż wszystkie styczne do hiperboli \(x^{2} - 2y^{2} = 8\) tak, aby kąt pomiędzy nimi a osią \(x\) wynosił \(45^{\circ }\).
\(y = x + 2\text{, }y = x - 2\text{, }y = -x + 2\text{, }y = -x - 2\)
\(y = x + 2\text{, }y = x - 2\)
\(y = x + 2\text{, }y = -x + 2\)
\(y = x + 2\)