C

Suponemos que lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial \(v_0=60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Determina el tiempo necesario para que el objeto alcance la altura máxima y también determina la altura máxima correspondiente. \[\] Sugerencia: El movimiento vertical hacia arriba de un cuerpo es el movimiento compuesto por un movimiento uniformemente rectilíneo y caída libre. La dependencia de la altura instantánea de un cuerpo con el tiempo viene dada por la relación \(h=v_0t-\frac12gt^2\), donde \(v_0\) es la magnitud de la velocidad inicial y \(g\) es la aceleración de la gravedad. Calcula este problema con el valor redondeado de \(g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). El tiempo \(t\) lo medimos en segundos y la altura \(h\) en metros.

Una fuente eléctrica se caracteriza por la fuerza electromotriz \(U_e=60\,\mathrm{V}\) y la resistencia interna \(R_i=2\,\Omega\). Determina el valor de la corriente eléctrica para la cual la potencia del aparato será máxima y también determina el valor de esta potencia máxima. \[\] Sugerencia: La dependencia de la potencia de un aparato (\(P\), unidad Watt (\(\mathrm{W}\))) sobre la magnitud de la siguiente corriente (\(I\), unidad Amperio (\(\mathrm{A}\))) viene dada por la relación \(P=U_eI-R_iI^2\). Las propiedades de la fuente tienen un papel de parámetros: \(U_e\) es la fuerza electromotriz, \(R_i\) es la resistencia interna de la fuente.

Suponemos que \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) son cuerpos, que se ponen en movimiento al mismo tiempo inicial \(t\). Sabemos cómo se cambia la distancia \(s\) o la velocidad \(v\) de estos cuerpos con el tiempo: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] La distancia \(s\) se da en metros, el tiempo \(t\) en segundos y la velocidad \(v\) en metros por segundo. Determina cuál de los cuerpos se mueve con la mayor aceleración en el momento \(t=1\,\mathrm{s}\). \[\] Sugerencia: La velocidad instantánea se puede expresar como la derivada de una función de distancia \(s(t)\) con respecto al tiempo: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\), y la aceleración instantánea se puede expresar como la derivada de una función \(v(t)\) con respecto al tiempo: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Como podemos determinar la velocidad usando la derivada de la función de distancia \(s(t)\), también podemos determinar la aceleración usando la segunda derivada de \(s(t)\): \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).