Sústavy nelineárnych rovníc a nerovníc

2000020307

Časť: 
A
Popíšte množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel v tvare \([x;y]\), ktoré sú riešením nasledujúcej rovnice. \[ \frac{x-7}{y+1}=5 \] Ktorý z nasledujúcich zápisov riešení je správny?
\[ \left\{ \left[5m+12;m\right];m\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[x;0{,}2x-2{,}4\right];x\in\mathbb{R}\setminus \left\{-0{,}7\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[5a-12;a\right];a\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[q;0{,}2q+2{,}4\right];q\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1{,}8\right\}\right\} \]

2000020305

Časť: 
A
Popíšte množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel v tvare \(\left[x;y\right] \), ktoré sú riešením nasledujúcej rovnice. \[\frac{y+2}{x-4}=3\] Ktorý z nasledujúcich zápisov riešení nie je správny?
\[ \left\{ \left[2b;b+\frac{14}{3}\right];b\in\mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[x;3x-14\right];x\in\mathbb{R}\setminus \left\{4\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[\frac{y+14}{3};y\right];y\in\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[\frac{a}{3};a-14\right];a\in\mathbb{R}\setminus \left\{12\right\}\right\} \]

2000020304

Časť: 
B
Riešte sústavu rovníc v \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). \[\begin{aligned} x-y&=2\\ x^2-y^2&=2\\ \end{aligned}\] Ktoré z nasledujúcich tvrdení je správne?
Sústava má jedno riešenie.
Sústava nemá žiadne riešenie.
Sústava má nekonečne veľa riešení.
Podiel čísel \(x\) a \(y\) je \(3\).

2000020303

Časť: 
A
Riešte sústavu rovníc v \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). \[\begin{aligned} x+y&=4+\frac{1}{27}\\ x\cdot y&=\frac{4}{27}\\ \end{aligned}\] Ktoré z nasledujúcich tvrdení je správne?
\(|x-y|=\frac{107}{27}\)
Sústava má presne jedno riešenie.
Sústava nemá žiadne riešenie.
Sústava má nekonečne veľa riešení.

2000020302

Časť: 
A
Vyriešte danú sústavu rovníc v \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). \[\begin{aligned} x^2+y&=2\\ 2x-y+3&=0\\ \end{aligned} \] V nasledujúcom zozname identifikujte pravdivé tvrdenie.
Čísla \(x\) a \(y\) sú opačné čísla.
Súčet čísel \(x\) a \(y\) sa rovná \(-2\).
Aritmetický priemer čísel \(x\) a \(y\) sa rovná \(2\).
Pomer čísel \(x\) a \(y\) je \(2:1\).

2000020301

Časť: 
C
Riešte sústavu rovníc v \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). \[ \begin{aligned} x+y&=-5\\ 1+\sqrt{2x+4y}&=\sqrt{x+3y}\\ \end{aligned}\] Z nasledujúcich tvrdení vyberte pravdivé.
\(x=-12,\ y=7\)
\(x=12,\ y=7\)
Sústava nemá riešenie.
Sústava má nekonečne veľa riešení.

2000017704

Časť: 
C
Nech \( x \in \mathbb{R}\). Určte množinu riešení nasledujúcej sústavy nerovníc. \[\begin{aligned} 2x- [x-(2x+1)]\cdot 3 &> (3+x)-2(1-x)-2x+6 \\ x^2-3\cdot [x-2x(1-x)] &< 5(10-x^2)-2x \end{aligned}\]
\( (1;10)\)
\( \emptyset \)
\( (-10;1)\)
\( \{1;10\}\)

2010011206

Časť: 
C
Je daná sústava rovníc \[\begin{aligned} y & = \frac{k} {x}, & & \\y & = a, & & \end{aligned}\] kde \(a\), \(k\) sú reálne parametre a \(x\), \(y\) sú reálne premenné. Určte podmienky pro \(a\), \(k\) tak, aby sústava mala jediné riešenie v \(\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{-}\).
\(a < 0\) a \(k < 0\)
\(a < 0\) a \(k > 0\)
\(a > 0\) a \(k < 0\)
\(a > 0\) a \(k > 0\)