Układy równań i nierówności nieliniowych

2000020307

Część: 
A
Opisz zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb rzeczywistych w postaci \([x;y]\) będących rozwiązaniami poniższego równania. \[ \frac{x-7}{y+1}=5 \] Który z opisów naszego zbioru rozwiązań jest prawidłowy?
\[ \left\{ \left[5m+12;m\right];m\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[x;0{,}2x-2{,}4\right];x\in\mathbb{R}\setminus \left\{-0{,}7\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[5a-12;a\right];a\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[q;0{,}2q+2{,}4\right];q\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1{,}8\right\}\right\} \]

2000020305

Część: 
A
Opisz zbiór wszystkich uporządkowanych par liczb rzeczywistych w postaci \(\left[x;y\right] \) będących rozwiązaniami poniższego równania. \[\frac{y+2}{x-4}=3\] Który z opisów naszego zbioru rozwiązań jest nieprawidłowy?
\[ \left\{ \left[2b;b+\frac{14}{3}\right];b\in\mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[x;3x-14\right];x\in\mathbb{R}\setminus \left\{4\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[\frac{y+14}{3};y\right];y\in\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[\frac{a}{3};a-14\right];a\in\mathbb{R}\setminus \left\{12\right\}\right\} \]

2000020304

Część: 
B
Rozwiąż podany układ równań w zbiorze liczb rzeczywistych. \[\begin{aligned} x-y&=2\\ x^2-y^2&=2\\ \end{aligned}\] Wskaż prawdziwe stwierdzenie.
Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Układ nie ma rozwiązania.
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Iloraz liczb \(x\) i \(y\) wynosi \(3\).

2000020303

Część: 
A
Rozwiąż podany układ równań w zbiorze liczb rzeczywistych. \[\begin{aligned} x+y&=4+\frac{1}{27}\\ x\cdot y&=\frac{4}{27}\\ \end{aligned}\] Wskaż poprawne stwierdzenie:
\(|x-y|=\frac{107}{27}\)
Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Układ nie ma rozwiązania.
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

2000020302

Część: 
A
Rozwiąż podany układ równań w zbiorze liczb rzeczywistych. \[\begin{aligned} x^2+y&=2\\ 2x-y+3&=0\\ \end{aligned} \] Wskaż prawdziwe stwierdzenie.
Liczby \(x\) i \(y\) są przeciwne do siebie.
Suma liczb \(x\) i \(y\) jest równa \(-2\).
Średnia arytmetyczna liczb \(x\) i \(y\) jest równa \(2\).
Stosunek liczb \(x\) i \(y\) wynosi \(2:1\).

2000020301

Część: 
C
Rozwiąż podany układ równań w zbiorze liczb rzeczywistych. \[ \begin{aligned} x+y&=-5\\ 1+\sqrt{2x+4y}&=\sqrt{x+3y}\\ \end{aligned}\] Wybierz prawdziwe stwierdzenie.
\(x=-12,\ y=7\)
\(x=12,\ y=7\)
Układ równań nie ma rozwiązania.
Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

2000017704

Część: 
C
Zakładając, że \( x \in \mathbb{R}\), znajdź zbiór rozwiązań następującego układu nierówności. \[\begin{aligned} 2x- [x-(2x+1)]\cdot 3 &> (3+x)-2(1-x)-2x+6 \\ x^2-3\cdot [x-2x(1-x)] &< 5(10-x^2)-2x \end{aligned}\]
\( (1;10)\)
\( \emptyset \)
\( (-10;1)\)
\( \{1;10\}\)

2010011206

Część: 
C
Dany jest układ równań \[\begin{aligned} y & = \frac{k} {x}, & & \\y & = a, & & \end{aligned}\] gdzie \(a\), \(k\) są rzeczywistymi parametrami, a \(x\), \(y\) są rzeczywistymi zmiennymi. Określ warunki dla \(a\) i \(k\), aby układ miał jedno rozwiązanie w \(\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{-}\).
\(a < 0\) i \(k < 0\)
\(a < 0\) i \(k > 0\)
\(a > 0\) i \(k < 0\)
\(a > 0\) i \(k > 0\)