Soustavy nelineárních rovnic a nerovnic

2000020307

Část: 
A
Popište množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel ve tvaru \([x;y]\), které jsou řešením následující rovnice. \[ \frac{x-7}{y+1}=5 \] Který z následujících zápisů řešení je správný?
\[ \left\{ \left[5m+12;m\right];m\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[x;0{,}2x-2{,}4\right];x\in\mathbb{R}\setminus \left\{-0{,}7\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[5a-12;a\right];a\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[q;0{,}2q+2{,}4\right];q\in\mathbb{R}\setminus \left\{-1{,}8\right\}\right\} \]

2000020305

Část: 
A
Popište množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel ve tvaru \(\left[x;y\right] \), které jsou řešením následující rovnice. \[\frac{y+2}{x-4}=3\] Který z následujících zápisů řešení není správný?
\[ \left\{ \left[2b;b+\frac{14}{3}\right];b\in\mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[x;3x-14\right];x\in\mathbb{R}\setminus \left\{4\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[\frac{y+14}{3};y\right];y\in\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}\right\} \]
\[ \left\{ \left[\frac{a}{3};a-14\right];a\in\mathbb{R}\setminus \left\{12\right\}\right\} \]

2000020304

Část: 
B
Řešte soustavu rovnic v \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). \[\begin{aligned} x-y&=2\\ x^2-y^2&=2\\ \end{aligned}\] Které z následujících tvrzení je správné?
Soustava má právě jedno řešení.
Soustava nemá řešení.
Soustava má nekonečně mnoho řešení.
Podíl čísel \(x\) a \(y\) je \(3\).

2000020303

Část: 
A
Řešte soustavu rovnic v \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). \[\begin{aligned} x+y&=4+\frac{1}{27}\\ x\cdot y&=\frac{4}{27}\\ \end{aligned}\] Které z následujících tvrzení je správné?
\(|x-y|=\frac{107}{27}\)
Soustava má právě jedno řešení.
Soustava nemá řešení.
Soustava má nekonečně mnoho řešení.

2000020302

Část: 
A
Vyřešte danou soustavu rovnic v \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). \[\begin{aligned} x^2+y&=2\\ 2x-y+3&=0\\ \end{aligned} \] Které z následujících tvrzení je správné?
Čísla \(x\) a \(y\) jsou navzájem opačná.
Součet čísel \(x\) a \(y\) je roven \(-2\).
Aritmetický průměr čísel \(x\) a \(y\) je roven \(2\).
Poměr čísel \(x\) a \(y\) je \(2:1\).

2000020301

Část: 
C
Řešte soustavu rovnic v \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). \[ \begin{aligned} x+y&=-5\\ 1+\sqrt{2x+4y}&=\sqrt{x+3y}\\ \end{aligned}\] Z následujících tvrzení vyberte pravdivé.
\(x=-12,\ y=7\)
\(x=12,\ y=7\)
Soustava nemá řešení.
Soustava má nekonečně mnoho řešení.

2000017704

Část: 
C
Nechť \( x \in \mathbb{R}\). Určete množinu řešení následující soustavy nerovnic. \[\begin{aligned} 2x- [x-(2x+1)]\cdot 3 &> (3+x)-2(1-x)-2x+6 \\ x^2-3\cdot [x-2x(1-x)] &< 5(10-x^2)-2x \end{aligned}\]
\( (1;10)\)
\( \emptyset \)
\( (-10;1)\)
\( \{1;10\}\)

2010011206

Část: 
C
Je dána soustava rovnic \[\begin{aligned} y & = \frac{k} {x}, & & \\y & = a, & & \end{aligned}\] kde \(a\), \(k\) jsou reálné parametry a \(x\), \(y\) jsou reálné proměnné. Určete podmínky pro \(a\), \(k\) tak, aby soustava měla jediné řešení v \(\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{-}\).
\(a < 0\) a \(k < 0\)
\(a < 0\) a \(k > 0\)
\(a > 0\) a \(k < 0\)
\(a > 0\) a \(k > 0\)

2010006704

Část: 
B
Určete, pro která \(c\in \mathbb{R}\) má soustava právě dvě řešení v \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\). \[ \begin{alignedat}{80} &x^{2} & + &2y^{2} & = 6 & & & & & & \\ &x & + &y & = c & & & & & & \\\end{alignedat}\]
\(|c| < 3\)
\(|c| =3\)
\(|c| > 3\)
\(|c| \in \mathbb{R}\)