Analytická geometria v priestore

1103212902

Časť:

Kocka $ ABCDEFGH $ s dĺžkou hrany $ 2 $ je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Bod $ S $ je stredom steny $ ABFE $ a body $ K $ a $ L $ sú po rade stredy hrán $ DH $ a $ CG $ . Určte všeobecnú rovnicu roviny $ \alpha $ prechádzajúcimi bodmi $ A $, $ B $ a $ L $ a vypočítajte vzdialenosť bodu $ S $ od roviny $ \alpha $.

$ \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} $

$ \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} $

$ \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} $

$ \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} $

1103212903

Časť:

Kocka $ ABCDEFGH $ s dĺžkou hrany $ 2 $ je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte odchýlku $ \varphi $ priamky $ AF $ od roviny $ \alpha $ prechádzajúcej bodmi $ E $, $ D $ a $ C $. Nápoveda: Odchýlka priamky od roviny je odchýlka priamky od jej kolmého priemetu do tejto roviny.

$ \varphi = 30^{\circ} $

$ \varphi = 15^{\circ} $

$ \varphi = 45^{\circ} $

$ \varphi = 60^{\circ} $

1103212904

Časť:

Pravidelný štvorboký ihlan $ ABCDV $ s dĺžkou hrany podstavy $ 6 $ a telesovou výškou $ 6 $ je umiestnený v súradnicovom systéme (viď obrázok). Bod $ S $ je stredom hrany $ AD $. Určte všeobecnú rovnicu roviny $ \alpha $ prechádzajúcou bodmi $ B $, $ V $ a $ C $ a vypočítajte vzdialenosť bodu $ S $ od tejto roviny.

$ \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} $

$ \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} $

$ \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} $

$ \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} $

1103212905

Časť:

Pravidelný štvorboký ihlan $ ABCDV $ s dĺžkou hrany podstavy $ 6 $ a telesovou výškou $ 6 $ je umiestený v súradnicovom systéme (viď obrázok). Určte parametrické vyjadrenie priesečnice $ p $ rovín $ \alpha $ a $ \beta $, kde $ \alpha $ je rovina prechádzajúce bodmi $ B $, $ C $ a $ V $ a $ \beta $ je rovina prechádzajúce bodmi $ A $, $ D $ a $ V $. Ďalej vypočítajte veľkosť odchýlky $ \varphi $ medzi rovinami $ \alpha $ a $ \beta $. Odchýlku $ \varphi $ zaokrúhlite na minúty.

$\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}$

$\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}$

$\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}$

$\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}$

1103233601

Časť:

Nech $ABCDEFGH$ je kocka s dĺžkou hrany $1$ umiestnená v pravouhlon súradnicovo systéme. V kocke je zvýraznený pravidelný tetraéder $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte jeho výšku.\[ \] Nápoveda: Nájdite napr. vzdialenosť medzi bodom $F$ a rovinou $ACH$.

$\frac{2\sqrt3}3$

$\frac{\sqrt3}3$

$\frac{2\sqrt6}3$

$\frac23$

1103233602

Časť:

V kocke $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$, ktorá je umiestnená v súradnicovom systéme, je vyznačený pravidelný štvorsten $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť jeho protiľahlých hrán. \[ \] Nápoveda: Protiľahlé hrany štvorstena ležia na mimobežných priamkach. Ich vzdialenosť je rovná vzdialenosti stredu jednej hrany od hrany k nej protiľahlej.

$1$

$\sqrt3$

$\frac{\sqrt3}2$

$\frac{\sqrt5}2$

1103233603

Časť:

V kocke $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$, ktorá je umiestnená v súradnicovom systéme, je vyznačený pravidelný štvorsten $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte odchýlku jeho stien a zaokrúhlite ju na minúty.

$70^{\circ}32'$

$54^{\circ}44'$

$45^{\circ}$

$51^{\circ}4'$

1103233604

Časť:

Určte obraz bodu $A=[1;10;-8]$ v osovej súmernosti podľa priamky $p$: \begin{align*} p\colon x&= 1-2t, \\ y&= 3+t, \\ z&= -1+3t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Nápoveda: viď obrázok

$A'=[5;-6;0]$

$A'=[3;2;-4]$

$A'=[-1;11;-5]$

$A'=[-2;10;-24]$

2010005007

Časť:

Je daná rovina $ \sigma \colon x - y - 2z +4 = 0. $ Určte súradnice bodu $M'$, ktorý je obrazom bodu $M = [2;0;0]$ v rovinovej súmernosti podľa roviny $ \sigma $.

$M' = [0;2;4]$

$M' = [4;-2;-4]$

$M' = [1;1;2]$

$M' = [0;0;-2]$

2010008703

Časť:

Priamka $ q $ je daná bodmi $ K=[6;6;7] $ a $ L=[4;0;2] $ (viďte obrázok). Určte parametrické rovnice priamky $ q' $, ktorá je s priamkou $ q $ súmerná podľa súradnicovej roviny $ xz $.

$ \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} $

Analytická geometria v priestore

1103212902

1103212903

1103212904

1103212905

1103233601

1103233602

1103233603

1103233604

2010005007

2010008703

About portal

O portálu