Goniometrické rovnice a nerovnice

2010012004

Časť: 
A
Najmenšia hodnota \( \varphi \), kde \( 0^{\circ} < \varphi < 180^{\circ} \), ktorá vyhovuje rovnici \( \mathrm{tg}\!\left(2\varphi + 34^{\circ}\right) = -\frac{\sqrt3}{3} \), je:
\( 58^{\circ} \)
\( 148^{\circ} \)
\( 29^{\circ} \)
\( 92^{\circ} \)

2010012002

Časť: 
A
Riešte rovnici \( \cos^2x = \sqrt2 \cos x \) s neznámou \( x\in\mathbb{R} \).
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}2+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}4+k\pi ;\frac{\pi}2+k\pi\right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x \in \emptyset \)

2010012001

Časť: 
A
Nájdite všetky \( x\in\mathbb{R} \), pre ktoré platí \( \mathrm{tg}^2x = \mathrm{tg}\,x \).
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{k\pi;\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{k\pi\right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{\frac{\pi}2+k\pi;\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)

2010010705

Časť: 
A
Množina riešení rovnice \( \cos\!\left(2\varphi + \frac{\pi}6\right) = - 1\) pre \( \varphi \in \langle 0;2\pi\rangle\) je:
\(\left\{ \frac{5\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}\right\}\)
\(\left\{ \frac{5\pi}{12}; \frac{11\pi}{12}\right\}\)
\(\left\{ \frac{7\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}\right\}\)
\(\left\{ \frac{7\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}\right\}\)

2010010704

Časť: 
A
Vyberte rovnicu, na ktorú je možné nasledujúcu rovnicu upraviť vhodnou substitúciou: \[ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x + \frac{2\sqrt{3}}{3}=\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x \]
\(\sqrt{3}t^{2} +2t -\sqrt{3}= 0\)
\(t^{2} +2\sqrt{3}t-1= 0\)
\(3t^{2} -2\sqrt{3}t +{3}= 0\)
\(\sqrt{3}t^{2} +t +2\sqrt{3}= 0\)

2010010702

Časť: 
A
Množina riešení rovnice \( \mathrm{cotg}\, x =\sqrt{3} \) for \( x\in (-\pi;\pi )\) je:
\( \left\{ -\frac{5\pi}6;\frac{\pi}6\right\} \)
\( \left\{ -\frac{\pi}6;\frac{\pi}6\right\} \)
\( \left\{ -\frac{\pi}3;\frac{\pi}3\right\} \)
\( \left\{ -\frac{2\pi}3;\frac{\pi}3\right\} \)

2010010701

Časť: 
A
Množina riešení rovnice \( \cos x =-0{,}5 \) for \( x\in\langle 0;2\pi \rangle\) je:
\( \left\{ \frac{2\pi}3;\frac{4\pi}3\right\} \)
\( \left\{ \frac{2\pi}3;\frac{5\pi}3\right\} \)
\( \left\{ \frac{4\pi}3;\frac{5\pi}3\right\} \)
\( \left\{ \frac{4\pi}3;\frac{7\pi}3\right\} \)

2010009805

Časť: 
C
Riešenie nerovnice\( |\cos x| \leq \frac12 \) pre \( x\in\mathbb{R} \) je:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle\frac{\pi}3+k\pi;\frac{2\pi}3+k\pi\right\rangle \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle-\frac{\pi}3+k\pi;\frac{\pi}3+k\pi\right\rangle \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle\frac{\pi}3+k\pi; \infty\right) \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle\frac{\pi}3+k\pi;\frac{4\pi}3+k\pi\right\rangle \)