Goniometrické rovnice a nerovnice

9000046609

Časť: 
B
Určte, ktorej z nasledujúcich nerovníc vyhovujú všetky čísla z intervalu \(\left ( \frac{\pi }{4}; \frac{3\pi } {4}\right )\).
\(\sin x\geq \frac{\sqrt{2}} {2} \)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x > 1\)
\(\cos x > 0\)
\(\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x\geq \frac{\sqrt{3}} {3} \)

9000046610

Časť: 
B
Určte, ktorej z nasledujúcich nerovníc vyhovujú všetky čísla z intervalu \(\left (\frac{5\pi } {6}; \frac{3\pi } {2}\right )\).
\(\cos x < \frac{1} {2}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x < 0\)
\(\sin x\geq -\frac{\sqrt{2}} {2} \)
\(\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x < 1\)

9000046501

Časť: 
B
Vyberte najlepšiu variantu z ponúknutých substitúcií alebo úprav, ktoré môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepšiu nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \sin x\cdot \cos x = 0 \]
\(\sin 2x = 0\)
\(\cos 2x = 0\)
substitúcia \( \sin x = z\)
\(\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x = 0\)

9000046503

Časť: 
A
Vyberte najlepšiu variantu z ponúkaných substitúcií alebo úprav, ktorú môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepšiu nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \left (-x + \frac{\pi } {6}\right ) = \sqrt{3} \]
substitúcia \( - x + \frac{\pi } {6} = z\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits (-x) = \sqrt{3} - \frac{\pi } {6}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^{2}\left (-x + \frac{\pi } {6}\right ) = 3\)
\(\frac{\sin \left (-x+ \frac{\pi }{6} \right )} {\cos \left (-x+ \frac{\pi }{6} \right )} = \sqrt{3}\)

9000046504

Časť: 
A
Vyberte najlepšiu variantu z ponúkaných substitúcií alebo úprav, ktorý môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepšiu nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \cos \left (x + \frac{\pi } {3}\right ) = \frac{\sqrt{3}} {2} \]
substitúcia \( x + \frac{\pi } {3} = z\)
\(\cos ^{2}\left (x + \frac{\pi } {3}\right ) = \frac{3} {4}\)
substitúcia \( \frac{\sqrt{3}} {2} = z\)
\(\cos x\cdot \cos \frac{\pi }{3} -\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{3} = \frac{\sqrt{3}} {2} \)

9000046505

Časť: 
C
Vyberte najlepšiu variantu z ponúkaných substitúcií alebo úprav, ktorý môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepšiu nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \sin x = 1 +\cos x \]
\(\sin ^{2}x = 1 + 2\cos x +\cos ^{2}x\)
\(\sin ^{2}x = 1 +\cos ^{2}x\)
substitúcia \( 1 +\cos x = z\)
\(\sin x -\cos x = z\)

9000046507

Časť: 
C
Vyberte najlepšiu variantu z ponúkaných substitúcií alebo úprav, ktorý môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepšiu nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \sqrt{3}\cos x = 1 -\sin x \]
\(3\cos ^{2}x = (1 -\sin x)^{2}\)
\(3\cos ^{2}x = 1 -\sin ^{2}x\)
substitúcia \( 1 -\sin x = z\)
substitúcia \( \cos x = z\)

9000046508

Časť: 
C
Vyberte najlepší variant z ponúkaných substitúcií alebo úprav, ktorý môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepší nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \sqrt{3}\sin x = 2 -\cos x \]
\(3\sin ^{2}x = 4 - 4\cos x +\cos ^{2}x\)
substitúcia \( 2 -\cos x = z\)
\(3\sin ^{2}x = 4 -\cos ^{2}x\)
\(3\sin ^{2}x = 1 - 2\cos x +\cos ^{2}x\)