Układy równań i nierówności liniowych

1103034507

Część: 
B
Rozważmy wagę bilansową składającą się z belki o nierównej długości ramion, gdzie punkt podparcia jest bardzo blisko jednego końca belki. (Takie łuski są nazywane bezkręgowymi, na przykład często są używane do ważenia połowu w łowiskach.) Ładunek jest zawieszany na krótszym ramieniu, podczas gdy równowaga wokół punktu oparcia jest uzyskiwana przez przesuwanie przeciwwagi wzdłuż dłuższego ramienia. (Zobacz obrazek.) Załóżmy, że odległość punktu zawieszenia ładunku od punktu podparcia wynosi \( 5\, \mathrm {cm} \). Jeśli ciężar ładunku wynosi \( 80\, \mathrm {N} \), równowaga zostaje osiągnięta, gdy przeciwwaga zostanie przesunięta na sam koniec dłuższego ramienia. Jeśli ciężar ładunku wynosi \( 60\,\mathrm {N} \), równowaga zostaje osiągnięta, gdy przeciwwaga zostanie przesunięta na odległość \(30\, \mathrm {cm} \) od punktu podparcia. Jaka jest długość belki? \[ \] Wskazówka: Bezmian opiera się na prawie dźwigni. Dla dźwigni zrównoważonej jest: \( F_1\cdot a=F_2\cdot b \) gdzie \(F_1\) jest wagą ładunku w odległości \(a\) od punktu podparcia, a \(F_2\) jest ciężarem przeciwwagi w odległości \(b\) od punktu podparcia.
\( 45\,\mathrm{cm} \)
\( 54\,\mathrm{cm} \)
\( 40\,\mathrm{cm} \)
\( 35\,\mathrm{cm} \)

1003034506

Część: 
B
Kamil potrafi skosić trawę w \( 12 \) godzin. Zbyszek ma lepszą kosiarkę i jest w stanie skosić tę samą łąkę w \( 8 \) godzin. Ustalili, że Kamil najpierw zacznie kosić sam, a Zbyszek dołączy do niego później, tak, aby całkowity czas koszenia wyniósł \( 9 \) godzin. Jak długo będą kosić razem?
\( 2 \) godziny
\( 7 \) godzin
\( 6 \) godzin
\( 3 \) godziny

1003034505

Część: 
B
Marcowa cena podkoszulka i krótkich spodenek wyniosła \( 60\,\mathrm{PLN} \) za zestaw. W kwietniu ceny w sklepie uległy zmianom. Cena krótkich spodenek obniżyła się o \( 10\% \) a cena podkoszulka wzrosła o \( 10\% \). Tak więc kwietniowa cena zestawu podkoszulek i krótkie spodenki była o \( 2\,\mathrm{PLN} \) niższa. Jaka była kwietniowa cena podkoszulka?
\( 22\,\mathrm{PLN} \)
\( 20\,\mathrm{PLN} \)
\( 18\,\mathrm{PLN} \)
\( 40\,\mathrm{PLN} \)

1003034503

Część: 
B
Uczniowie zapisali się na obóz sportowy. Na obóz rowerowy zapisało się o \( 18 \) uczniów więcej niż na obóz żeglarski. Po pewnym czasie jeden z uczniów przepisał się z obozu żeglarskiego na obóz rowerowy. Teraz jest dwa razy więcej rowerzystów niż żeglarzy. Ilu uczniów zapisało się początkowo na obóz żeglarski?
\( 21 \)
\( 39 \)
\( 20 \)
\( 15 \)

1003034502

Część: 
C
Piotrek chciałby kupić nowy smartfon. Jeśli zacznie pracować dorywczo w sklepie elektronicznym będzie zarabiał \( 12\,\mathrm{PLN} \) na godzinę i dostanie \( 20\% \) zniżki na smartfona kupionego w sklepie. Obliczył, że za \( 24 \) godziny pracy nie zarobi nawet połowy sumy, którą musi zapłacić za smartfona. Inny pracodawca płaci \( 15\,\mathrm{PLN} \) za godzinę. Jeśli Piotrek będzie pracował dorywczo u tego sprzedawcy nie będzie miał prawa do zniżki w sklepie elektronicznym, ale będzie miał możliwość zakupu smartfona w e-sklepie za cenę o \( 60\,\mathrm{PLN} \) niższą niż w sklepie elektronicznym. Poza tym za \( 20 \) godzin pracy zarobi więcej niż jedną trzecią ceny smartfona w sklepie elektronicznym. Określ najdokładniej jak potrafisz cenę smartfona w sklepie elektronicznym.
wyższa niż \( 720\,\mathrm{PLN} \) ale niższa niż \( 960\,\mathrm{PLN} \)
wyższa niż \( 720\,\mathrm{PLN} \) i niższą niż \( 1\,800\,\mathrm{PLN} \)
wyższa niż \( 480\,\mathrm{PLN} \) ale niższa niż \( 960\,\mathrm{PLN} \)
wyższa niż \( 480\,\mathrm{PLN} \) ale niższa niż \( 1\,080\,\mathrm{PLN} \)

1003034501

Część: 
C
Dwa różne sklepy z rybkami akwariowymi mają specjalną cenę rybek Congo Tetra. Cena wynosi \( 42\,\mathrm{PLN} \) za jedną rybkę. W sklepie A oferowany jest rabat w wysokości \( 50\,\mathrm{PLN} \) przy zakupie za ponad \( 300\,\mathrm{PLN} \). W sklepie B klient otrzymuje zniżkę w wysokości \( 5\% \) przy każdym zakupie. Ile rybek Congo Tetra należy kupić, aby ostateczna cena za zakupy w sklepie A była niższa niż ostateczna cena w sklepie B?
więcej niż \( 7 \) ale mniej niż \( 24 \)
mniej niż \( 24 \)
więcej niż \( 23 \)
mniej niż \( 7 \)

1003083003

Część: 
A
Znajdź zbiór rozwiązań podanego układu równań. \[ \begin{aligned}\frac23 x-\frac12y&=1 \\ -2x+\frac32y&=-3 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[x; \frac{4x-6}3\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; y\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, } y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \emptyset \)
\( \left\{[0; -2]\right\} \)

1003083002

Część: 
A
Określ, który ze zbiorów nie jest rozwiązaniem podanego układu równań. \[ \begin{aligned} \frac12 x-y&=3 \\ \frac x3 - \frac23 y &=2 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[6+2y;\frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, }y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; \frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[6+2y;y\right]\colon y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[2t;t-3\right]\colon t\in\mathbb{R}\right\} \)