Układy równań i nierówności liniowych

1003034503

Część: 
B
Uczniowie zapisali się na obóz sportowy. Na obóz rowerowy zapisało się o \( 18 \) uczniów więcej niż na obóz żeglarski. Po pewnym czasie jeden z uczniów przepisał się z obozu żeglarskiego na obóz rowerowy. Teraz jest dwa razy więcej rowerzystów niż żeglarzy. Ilu uczniów zapisało się początkowo na obóz żeglarski?
\( 21 \)
\( 39 \)
\( 20 \)
\( 15 \)

1003034502

Część: 
C
Piotrek chciałby kupić nowy smartfon. Jeśli zacznie pracować dorywczo w sklepie elektronicznym będzie zarabiał \( 12\,\mathrm{PLN} \) na godzinę i dostanie \( 20\% \) zniżki na smartfona kupionego w sklepie. Obliczył, że za \( 24 \) godziny pracy nie zarobi nawet połowy sumy, którą musi zapłacić za smartfona. Inny pracodawca płaci \( 15\,\mathrm{PLN} \) za godzinę. Jeśli Piotrek będzie pracował dorywczo u tego sprzedawcy nie będzie miał prawa do zniżki w sklepie elektronicznym, ale będzie miał możliwość zakupu smartfona w e-sklepie za cenę o \( 60\,\mathrm{PLN} \) niższą niż w sklepie elektronicznym. Poza tym za \( 20 \) godzin pracy zarobi więcej niż jedną trzecią ceny smartfona w sklepie elektronicznym. Określ najdokładniej jak potrafisz cenę smartfona w sklepie elektronicznym.
wyższa niż \( 720\,\mathrm{PLN} \) ale niższa niż \( 960\,\mathrm{PLN} \)
wyższa niż \( 720\,\mathrm{PLN} \) i niższą niż \( 1\,800\,\mathrm{PLN} \)
wyższa niż \( 480\,\mathrm{PLN} \) ale niższa niż \( 960\,\mathrm{PLN} \)
wyższa niż \( 480\,\mathrm{PLN} \) ale niższa niż \( 1\,080\,\mathrm{PLN} \)

1003034501

Część: 
C
Dwa różne sklepy z rybkami akwariowymi mają specjalną cenę rybek Congo Tetra. Cena wynosi \( 42\,\mathrm{PLN} \) za jedną rybkę. W sklepie A oferowany jest rabat w wysokości \( 50\,\mathrm{PLN} \) przy zakupie za ponad \( 300\,\mathrm{PLN} \). W sklepie B klient otrzymuje zniżkę w wysokości \( 5\% \) przy każdym zakupie. Ile rybek Congo Tetra należy kupić, aby ostateczna cena za zakupy w sklepie A była niższa niż ostateczna cena w sklepie B?
więcej niż \( 7 \) ale mniej niż \( 24 \)
mniej niż \( 24 \)
więcej niż \( 23 \)
mniej niż \( 7 \)

1003083003

Część: 
A
Znajdź zbiór rozwiązań podanego układu równań. \[ \begin{aligned}\frac23 x-\frac12y&=1 \\ -2x+\frac32y&=-3 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[x; \frac{4x-6}3\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; y\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, } y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \emptyset \)
\( \left\{[0; -2]\right\} \)

1003083002

Część: 
A
Określ, który ze zbiorów nie jest rozwiązaniem podanego układu równań. \[ \begin{aligned} \frac12 x-y&=3 \\ \frac x3 - \frac23 y &=2 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[6+2y;\frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, }y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; \frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[6+2y;y\right]\colon y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[2t;t-3\right]\colon t\in\mathbb{R}\right\} \)

1003083001

Część: 
A
Określ, który z poniższych układów równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.
\( \begin{aligned} \frac13x-4y&=2\\ -\frac{x}4+3y&=-\frac32 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ -x+12y&=6 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ \frac x4-6y&=6 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ \frac x3-4y&=0 \end{aligned} \)

1003060504

Część: 
B
Dane są cztery układy równań. Ile z podanych układów mają nieskończenie wiele rozwiązań? \[ \begin{array}{c|c} \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8 \\ -2x+3y-5z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ 6x-9y+15z&=12\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)} \\\hline \text{\(\begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ -2x+3y+5z&=4\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} x+y+z&=1 \\ 2x+2y+2z&=2 \\ -\frac x2-\frac y2-\frac z2&=-\frac12 \end{aligned}\)} \end{array} \]
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 3 \)
\( 4 \)

1003060503

Część: 
B
Dany jest układ równań: \[ \begin{aligned} x-y-z&=0, \\ 2x-y+3z&=1, \\ -3x+2y+z&=2. \end{aligned} \] Który z poniższych systemów jest równoważny? (Uwaga: Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych przez przekształcenie systemu w tę postać (forma rzutu rzędów) jest znany jako eliminacja Gaussa lub redukcja rzędów.)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=1 \\ 3z&=3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=-1 \\ 3z&=-1 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=5 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=-7 \end{aligned} \)

1003060502

Część: 
B
Dany jest układ równań: \[ \begin{aligned} x+y-2z&=0, \\ x+2y+3z&=0, \\ -2x+y+z&=2. \end{aligned} \] Który z poniższych systemów jest równoważny? (Uwaga: Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych przez przekształcenie systemu w tę postać (forma rzutu rzędów) jest znany jako eliminacja Gaussa lub redukcja rzędów.)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=-2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y-5z&=0 \\ 12z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+z&=0 \\ 6z&=2 \end{aligned} \)