Geometria analityczna na płaszczyźnie

Wyznacz kąt \(\varphi \) między prostymi \(p\) i \(q\) spełniającymi równania parametryczne. \[ p\colon \begin{aligned}[t] x& = 1 + 2t, & \\y& = 3 - 3t;\ t\in \mathbb{R}, \\ \end{aligned}\qquad q\colon \begin{aligned}[t] x& = 2 - k, & \\y& = 3 + k;\ k\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]

Dane są punkty \(A = [-1{,}4]\), \(B = [2,-2]\), \(C = [5,-1]\), wyznacz miarę kąta \(\varphi \) pomiędzy prostymi \(AB\) i \(BC\).

Wyznacz wartość rzeczywistą parametru \(a\) tak, aby proste \(p\) i \(q\) były prostopadłe. \[ p\colon ax + y - 4 = 0,\qquad q\colon x + 2y + 4 = 0. \]

Wyznacz odległość od punktu \(M = [1;1]\) do prostej \(p\). \[ \begin{aligned}p\colon x& = 3 + t, & \\y & = 1 + t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]