# Kombinatoryka

## 1003024601

Część:
A
Załóżmy, że hasło do sejfu składa się z czterech różnych liter ze zbioru $$\{A;B;C;D;E;F;G;H\}$$ i czterech różnych cyfr ze zbioru \ $$\{1;2;3;4;5;6;7\}$$. Ile jest różnych haseł?
$$\binom84 \cdot \binom74 \cdot 8! = 98\,784\,000$$
$$\frac{8!}{4!}\cdot\frac{7!}{3!}\cdot8!=56\,899\,584\,000$$
$$\left(\frac{8!}{4!}+\frac{7!}{3!}\right)\cdot8! = 101\,606\,400$$
$$\left(\binom84+\binom74\right)\cdot8!=4\,233\,600$$

## 1003024602

Część:
A
Załóżmy, że sześciu uczniów siedzi na sześciu krzesłach ustawionych w rzędzie. Wśród nich są bliźnięta. Na ile sposobów uczniowie mogą usiąść w rzędzie, aby bliźnięta nie siedziały obok siebie?
$$6! -2\cdot5!=480$$
$$\frac{6!}2=360$$
$$2\cdot5!=240$$
$$6! -5!=600$$

## 1003024606

Część:
A
Każda karta płatnicza ma swój czterocyfrowy numer PIN. Ile różnych kodów PIN można utworzyć, jeśli kod musi mieć różne cyfry?
$$\frac{10!}{6!} = 5\:040$$
$$\frac{10!}{4!} = 151\:200$$
$$\frac{10!}{6!\cdot4!} = 210$$
$$10^4 = 10\:000$$

## 1003024607

Część:
A
Na półce znajdują się trzy niebieskie kubki, trzy czerwone kubki, dwa żółte i dwa zielone kubki rozmieszczone w rzędzie od lewej do prawej. Kubki tego samego koloru nie różnią się od siebie. Ile jest możliwych ułożeń tych kubków?
$$\frac{10!}{(2!)^2\cdot(3!)^2}=25\:200$$
$$\frac{10!}{4\cdot6!}=1\:260$$
$$\frac{10!}{2\cdot2!\cdot3!}=151\:200$$
$$\frac{10!}{4\cdot2!\cdot3!}=75\:600$$

## 1003024608

Część:
A
Na ile sposobów można ułożyć litery w czeskim słowie KOMBINATORIKA?
$$\frac{13!}{(2!)^4}=389\:188\:800$$
$$\frac{13!}{4\cdot2!}=778\:377\:600$$
$$\frac{13!}{2!}=3\:113\:510\:400$$
$$13!-4\cdot2!=6\:227\:020\:792$$

## 1003024609

Część:
A
Ile jest $$8$$-cyfrowych liczb, w których suma cyfr to $$3$$?
$$36$$
$$113$$
$$112$$
$$35$$

## 1003024610

Część:
A
W pociągu ekspresowym powinny być następujące wagony: $$3$$ pierwszej klasy, $$5$$ drugiej klasy, $$2$$ sypialniane, $$1$$ wagon gastronomiczny oraz $$2$$ wagony bagażowe. Ile jest sposobów ułożenia wagonów w pociągu?
$$\frac{13!}{(2!)^2\cdot3!\cdot5!}=2\:162\:160$$
$$\frac{13!}{(2!)^2+3!+5!}=47\:900\:160$$
$$13!-(2!)^2\cdot3!\cdot5!=6\:227\:017\:920$$
$$13!-\left|(2!)^2+3!+5!\right|=6\:227\:020\:670$$

## 1003024611

Część:
A
W sejfie można ustawić dziesięciocyfrowy kod. Kod może składać się tylko z czterech $$1$$, trzech $$2$$, dwóch $$3$$ oraz jednej $$4$$. Ile rodzajów kodu można utworzyć?
$$\frac{10!}{4!\cdot3!\cdot2!} = 12\:600$$
$$\frac{10!}{4!+3!+2!}=113\:400$$
$$10!-4!\cdot3!\cdot5!=3\:628\:512$$
$$10! = 3\:628\:800$$

## 2000004501

Część:
A
Na ile sposobów można ułożyć litery w słowie DOG?
$$3! = 6$$
$$3$$
$$5$$
$$4$$

## 2000004502

Część:
A
Określ liczbę wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru $$\{A, B, C, D, E \}$$.
$${{5}\choose{2}} =10$$
$$\frac{5!}{2!} =30$$
$$\frac{5!}{3!} =20$$
$$5$$