C

2010013701

Část: 
C
Pohyb dvou těles je popsán rovnicemi \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] kde dráha \(s\) je uváděna v metrech a čas \(t\) v sekundách. Určete, v jakém čase se obě tělesa budou pohybovat stejnou rychlostí.\[\] Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=2\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt2\,\mathrm{s}\)
\(t=3\,\mathrm{s}\)
Rychlosti těchto těles budou vždy rozdílné.

2010013413

Část: 
C
Které z čísel nepatří do množiny řešení dané rovnice? \[x^{4}+1+\mathrm{i}=0\]
\(\root{8}\of{2}\left (\cos \frac{3\pi}{16} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi}{16}\right )\)
\(\mathrm{i}\root{4}\of{-1-\mathrm{i}}\)
\(\root{4}\of{-1-\mathrm{i}}\)
\(\root{8}\of{2}\left (\cos \frac{5\pi}{16} + \mathrm{i}\sin \frac{5\pi}{16}\right )\)

2010013412

Část: 
C
Které z čísel nepatří do množiny řešení dané rovnice? \[x^{4}-1+\mathrm{i}=0\]
\(\root{8}\of{2}\left (\cos \frac{3\pi}{16} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi}{16}\right )\)
\(-\root{4}\of{1-\mathrm{i}}\)
\(-\mathrm{i}\root{4}\of{1-\mathrm{i}}\)
\(\root{8}\of{2}\left (\cos \left(-\frac{\pi}{16}\right) + \mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi}{16}\right)\right )\)

2010013409

Část: 
C
Tři kořeny rovnice \[ x^{4} + 8\mathrm{i} = 0 \] jsou \[\begin{aligned}x_{1} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{3}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{3}{8}\pi \right ), \\ x_{2} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{7}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7}{8}\pi \right ),\\ x_{3} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{15}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{15}{8}\pi \right ).\\ \end{aligned}\] Určete čtvrtý kořen.
\(x_{4} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{11}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{9}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{9}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{5}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{8}\left (\cos \frac{1}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{1}{8}\pi \right )\)

2010013408

Část: 
C
Tři kořeny rovnice \[ x^{4} - 2\mathrm{i} = 0 \] jsou \[\begin{aligned}x_{1} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{1}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{1}{8}\pi \right ),\\ x_{2} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{5}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5}{8}\pi \right ),\\ x_{3} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{9}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{9}{8}\pi \right ).\\ \end{aligned}\] Určete čtvrtý kořen.
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{13}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{11}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{15}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{15}{8}\pi \right )\)
\(x_{4} = \root{4}\of{2}\left (\cos \frac{3}{8}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{3}{8}\pi \right )\)

2010013407

Část: 
C
Dva kořeny rovnice \[ x^{3} + 1 - \mathrm{i} = 0 \] jsou \[ \begin{aligned}x_{1}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi} {4} \right ),& \\x_{2}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{11} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{11} {12}\pi \right ). \\ \end{aligned} \] Určete třetí kořen.
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{19} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{19} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{7} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{5} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{13} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13} {12}\pi \right )\)

2010013406

Část: 
C
Určete množinu všech komplexních kořenů dané rovnice. \[ x^{3} + 8\mathrm{i} = 0 \]
\(\left\{2\mathrm{i};\ \sqrt{3} -\mathrm{i};\ -\sqrt{3}-\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ -2\mathrm{i};\ \sqrt{3} -\mathrm{i};\ -\sqrt{3}-\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ -2;\ -\sqrt{3} +\mathrm{i};\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\right\}\)
\(\left\{ 2;\ -\sqrt{3} +\mathrm{i};\ \sqrt{3}+\mathrm{i}\right\}\)

2010013403

Část: 
C
Všechna řešení rovnice \( x^6+3\sqrt5-6\mathrm{i} = 0 \) mohou být zobrazena v pravúhlém souřadnicovém systému. Jaká je vzdálenost nejvzdálenějších bodů?
\( 2\sqrt[3]3 \)
\( 2\sqrt3 \)
\( \sqrt3 \)
\( \sqrt[3]9\)
\( 2\sqrt[3]9\)