C

2010013205

Část: 
C
Určete komplexní kořeny dané kvadratické rovnice. \[ (2-\mathrm{i})x^2-(3-2\mathrm{i})x = 0 \]
\( x_1=\frac85-\frac15\mathrm{i},\ \ x_2=0 \)
\( x_1=\frac85+\frac15\mathrm{i},\ \ x_2=0 \)
\( x_1=-\frac85-\frac15\mathrm{i},\ \ x_2=0 \)
\( x_1=-\frac85+\frac15\mathrm{i},\ \ x_2=0 \)

2010013202

Část: 
C
Jeden z kořenů rovnice \( x^{2} + px - 8 = 0\) s parametrem \(p\in \mathbb{C}\) je \(x_{1} = \sqrt{7} +\mathrm{i}\). Určete druhý kořen \(x_{2}\) a odpovídající hodnotu parametru \(p\).
\(x_{2} = \mathrm{i}-\sqrt{7},\ p = -2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -\mathrm{i}-\sqrt{7},\ p = 2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -\mathrm{i}+\sqrt{7},\ p = 2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -\mathrm{i}-\sqrt{7},\ p = 4\mathrm{i}\)

2010013108

Část: 
C
Vyřešte následující rovnici pro \(z\in \mathbb{C}\). Pomocí \(\overline{z }\) označujeme číslo komplexně sdružené k číslu \(z \). \[ 2z - 3\overline{z } = 10 - 15\mathrm{i} \]
\(-10 - 3\mathrm{i}\)
\(-10 + 15\mathrm{i}\)
\(10 + 3\mathrm{i}\)
\(-10 + 3\mathrm{i}\)

2010013107

Část: 
C
Nechť \( z_1 = x^2 + 9y\,\mathrm{i}-10\,\mathrm{i} \) a \( z_2 = 8x-15+ y^2\,\mathrm{i} \). Určete všechny \( [x;y] \in \mathbb{R}\times\mathbb{R} \), pro které \( z_1= \overline{z_2} \).
\( [x;y]\in\left\{[3;-10], [3;1], [5;-10], [5;1]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[-10;3], [1;3], [-10;5], [1;5]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[3;10], [3;-1], [5;10], [5;-1]\right\} \)
\( [x;y]\in\left\{[-3;-10], [-3;1], [-5;-10], [-5;1]\right\} \)

2010017806

Část: 
C
Velkou desku čtvercového tvaru o straně \(4\,\mathrm{m}\) chceme na jedné straně zvednout tak, aby vzniknul přístřešek (viz obrázek). Do jaké výšky \(h\) musíme stranu desky zvednout, aby vzniklý přístřešek měl co největší objem?
$h=2\sqrt2\,\mathrm{m}$
$h=4\cdot \sqrt{\frac23}\,\mathrm{m}$
$h=\frac43\sqrt3\,\mathrm{m}$
$h=\left( -\frac12 + \sqrt{65}\right)\,\mathrm{m}$

2010017805

Část: 
C
Jaké rozměry (v cm) musí mít skleněné akvárium tvaru kvádru s čtvercovým dnem, aby jeho objem byl \(20\) litrů a povrch akvária byl co nejmenší? (Uvažujeme kvádr bez horní podstavy.)
$a\doteq 34{,}2\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 17{,}1\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 27{,}1\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 27{,}1\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 63{,}2\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 5\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 13{,}6\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 108{,}6\,\mathrm{cm}$

2010017804

Část: 
C
Pletivem o délce \(60\,\mathrm{m}\) máme ohradit zahradu tvaru obdélníku se dvěma vnitřními přepážkami (viz obrázek). Jaké rozměry \(a\) a \(b\) bude mít zahrada, jestliže v jedné stěně má být otvor o délce \(2\,\mathrm{m}\) a ohraničená plocha má být co největší? (Pletivo bude použito i na přepážky.)
$a=7{,}75\,\mathrm{m}$, $b=15{,}5\,\mathrm{m}$
$a=7{,}25\,\mathrm{m}$, $b=16{,}5\,\mathrm{m}$
$a=7{,}5\,\mathrm{m}$, $b=16\,\mathrm{m}$
$a=10\,\mathrm{m}$, $b=11\,\mathrm{m}$

2000017706

Část: 
C
Která z uvedených soustav má řešení znázorněné na číselné ose?
\(\begin{aligned} -5x-4 &>11-2x \\ 8-9x &> 2x-69 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -5x-4 &>11-2x \\ 8-9x& < 2x-69 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -5x-4 &< 11-2x\\ 8-9x &< 2x-69 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} -5x-4& < 11-2x\\ 8-9x &> 2x-69 \end{aligned}\)