Geometrie v prostoru

2010016104

Část: 
C
Určete rovnice všech tečných rovin kulové plochy \((x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = 36\) v jejím bodě \([t_1; -3; 8]\). První souřadnice \(t_1\) je větší než \(x\)-souřadnice středu kulové plochy.
\( x+2y-2z+26=0\)
\( x-2y+2z-22=0\)
\( x-2y+2z-18=0\)
\( x-2y-2z+14=0\)

2010016103

Část: 
C
Určete rovnice všech tečných rovin kulové plochy \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z + 4)^2 = 36\) v jejím bodě \([-2; 3; t_3]\). Třetí souřadnice \(t_3\) je větší než \(z\)-souřadnice středu kulové plochy.
\( 2x-2y-z+8=0\)
\( 2x-2y+z+16=0\)
\( 2x-2y-3z+4=0\)
\( 2x-2y-5z=0\)

2010016102

Část: 
C
Je dána rovnice \( x^2+y^2+z^2+2x-8y+z+18=0\). Pokud se jedná o rovnici kulové plochy, určete její střed \(S\) a poloměr \(r\).
Není to rovnice kulové plochy.
\( S= \left[ -1;4;-\frac12\right]\), \(r=\frac34\)
\( S= \left[ 1;-4;\frac12\right]\), \(r=\frac{\sqrt3}2\)
\( S= \left[ -1;4;-\frac12\right]\), \(r=\frac{\sqrt3}2\)
\( S= \left[ 1;-4;\frac12\right]\), \(r=\frac34\)

2010016101

Část: 
C
Je dána rovnice \( x^2+y^2+z^2+2x-8y+z+17=0\). Pokud se jedná o rovnici kulové plochy, určete její střed \(S\) a poloměr \(r\).
\( S= \left[ -1;4;-\frac12\right]\), \(r=\frac12\)
\( S= \left[ -1;4;-\frac12\right]\), \(r=\frac14\)
\( S= \left[ 1;-4;\frac12\right]\), \(r=\frac12\)
\( S= \left[ 1;-4;\frac12\right]\), \(r=\frac14\)
Není to rovnice kulové plochy.

2010008710

Část: 
C
Určete obraz bodu \(R=[1; 10; -8]\) v rovinné souměrnosti podle roviny \(\omega \colon 2x-y-3z+12=0\). Nápověda: Přímka \(RR'\) je kolmá k rovině \(\omega\) (viz obrázek).
\(R'=[-7;14;4]\)
\(R'=[-3;12;-2]\)
\(R'=[-1;-10;8]\)
\(R'=[-5;34;-14]\)

2010008709

Část: 
C
Určete obraz bodu \(P=[4; −8; 7]\) v rovinné souměrnosti podle roviny \(\sigma\colon 3x-2y+4z+2=0\). Nápověda: Přímka \(PP'\) je kolmá k rovině \(\sigma\) (viz obrázek).
\(P'=[-8;0;-9]\)
\(P'=[-2;-4;-1]\)
\(P'=[10;-12;15]\)
\(P'=[16;-16;23]\)

2010008708

Část: 
C
Určete obraz bodu \(B=[4;-8;-7]\) v osové souměrnosti podle přímky \(q\): \begin{align*} q\colon x&= 2+3t, \\ y&= 8+4t, \\ z&= -7-2t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Nápověda: viz obrázek.
\(B'=[-12;8;1]\)
\(B'=[-4;0;-3]\)
\(B'=[-4;-8;-13]\)
\(B'=[-4;8;7]\)

2010008707

Část: 
C
V krychli \(ABCDEFGH\) s délkou hrany \(2\), která je umístěna v souřadnicové soustavě, leží pravidelný čtyřstěn \(BDEG\) (viz obrázek). Určete odchylku jeho stěn (zaokrouhlete na minuty).
\(70^{\circ}32'\)
\(45^{\circ}0'\)
\(51^{\circ}4'\)
\(54^{\circ}44'\)

2010008706

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 4 \) je umístěna v souřadnicové soustavě (viz obrázek). Určete ochylku \( \psi \) roviny \( \rho \), která prochází body \( B \), \( D \) a \( H \) a přímky \( CF \). Nápověda: Odchylka přímky od roviny je odchylka přímky od jejího kolmého průmětu do této roviny.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)

2010008705

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 4 \) je umístěna v souřadnicové soustavě (viz obrázek). Určete vzdálenost rovnoběžných přímek \( p=PQ\) a \( r=RS \), kde body \( P \), \( Q \), \( R\) a \( S \) jsou po řadě středy hran \(BF\), \(BC\), \(EH\) a \(DH\).
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)