Užití diferenciálního počtu

1003263404

Část: 
C
Najděte globální extrémy funkce \( f \) na intervalu \( \langle-1;3\rangle \). \[ f(x)=x^2\cdot \mathrm{e}^{-x} \]
globální minimum v bodě \( x=0 \), globální maximum v bodě \( x=-1 \)
globální minimum v bodě \( x=0 \), globální maximum v bodě \( x=2 \)
globální minimum v bodě \( x=3 \), globální maximum v bodě \( x=-1 \)
globální minimum v bodě \( x=-1 \), globální maximum v bodě \( x=0 \)

1003263405

Část: 
C
Vyberte pravdivé tvrzení o funkci \( f(x)=\sin x+\frac12\cos⁡2x \) na intervalu \( \langle0;\pi\rangle \).
Funkce \( f \) má globální minima v bodech \( x=0 \), \( x=\frac{\pi}2 \) a \( x=\pi \).
Jediné globální minimum funkce \( f \) na daném intervalu je v bodě \( x=\frac{\pi}2 \).
Jediné globální maximum funkce \( f \) na daném intervalu je v bodě \( x=\frac{\pi}6 \).
Funkce \( f \) nemá na daném intervalu globální minimum.

1003266402

Část: 
C
Cena zážitkového programu Archery game pro skupiny do $8$ účastníků je $12$ EUR/os. Pro větší skupiny (počet osob je větší než $8$) se s každou další osobou snižuje cena pro všechny účastníky o $0{,}5$ $\mathrm{EUR}$/os. Při jakém počtu účastníků bude mít pořádající společnost z toho programu maximální příjem a kolik tento příjem bude?
Maximální příjem bude $128$ $\mathrm{EUR}$ při účasti $16$ osob.
Maximální příjem bude $128$ $\mathrm{EUR}$ při účasti $8$ osob.
Maximální příjem bude $192$ $\mathrm{EUR}$ při účasti $16$ osob.
Maximální příjem bude $192$ $\mathrm{EUR}$ při účasti $12$ osob.
Žádná z odpovědí není správná.

1103263401

Část: 
C
Na obrázku je dán graf funkce \( f \). Vyberte, která z následujících tvrzení o funkci \( f \) jsou pravdivá. \[ \begin{array}{l} \text{A: Daná funkce } f \text{ má na intervalu } \langle-4;4\rangle \text{ globální maximum v bodě } x=4. \\ \text{B: Jediné globální minimum funkce } f \text{ na intervalu } \langle-4;4\rangle \text{ je v bodě } x=2. \\ \text{C: Na intervalu} (-2;3\rangle \text{ má daná funkce } f \text{ globální minimum v bodě } x=2 \text{ a globální maximum v bodě } x=-2. \\ \text{D: Daná funkce } f \text{ nemá globální maximum na intervalu } \langle-3;4). \\ \text{E: Daná funkce } f \text{ nemá globální minimum na intervalu } \langle-4;2) \text{ .} \end{array} \] Jedinými pravdivými tvrzeními jsou:
A, D
B, C
B, D, E
A, D, E
A, B, E
C, D

1103263402

Část: 
C
Na obrázku je dán graf funkce \( f \). Vyberte, která z následujících tvrzení o funkci \( f \) jsou pravdivá. \[ \begin{array}{l} \text{A: Daná funkce } f \text{ má na intervalu } (-3;3) \text{ globální minimum v bodě } x=0. \\ \text{B: Daná funkce } f \text{ má na intervalu } \langle-3;3\rangle \text{ globální maxima v bodech } x=-2 \text{ a } x=2. \\ \text{C: Na intervalu } (-2;3\rangle \text{ má daná funkce } f \text{ globální minimum v bodě } x=3 \text{ a globální maximum v bodě } x=2. \\ \text{D: Daná funkce } f \text{ nemá globální minimum na intervalu } (-3;3). \\ \text{E: Daná funkce } f \text{ nemá globální maximum na intervalu } (-3;3) . \end{array} \] Jedinými pravdivými tvrzeními jsou:
B, C, D
C, D, E
A, B, C
A, B
C, D
A, E

1103266401

Část: 
C
Výrobce sterilované zeleniny potřebuje snížit náklady na výrobu válcové plechovky o objemu $0{,}5$ l. Jaký by měl být poloměr $r$ a výška $h$ plechovky (v cm), aby byl její povrch (a tím i spotřeba materiálu) minimální?
$r\doteq 4{,}3\,\mathrm{cm}$, $h\doteq 8{,}6\,\mathrm{cm}$
$r\doteq 3{,}4\,\mathrm{cm}$, $h\doteq 13{,}8\,\mathrm{cm}$
$r\doteq 5{,}4\,\mathrm{cm}$, $h\doteq 5{,}5\,\mathrm{cm}$
$r\doteq 3{,}4\,\mathrm{cm}$, $h\doteq 8{,}6\,\mathrm{cm}$

1103266403

Část: 
C
Chceme vytvořit výběh pro králíky, který bude mít tvar obdélníku se stranami $a$ a $b$. Výběh má být rozdělen pomocí rovnoběžných přepážek na čtyři části se stejným obsahem (viz obrázek). Jaké budou celkové rozměry výběhu $a$ a $b$, máme-li k dispozici $50\,\mathrm{m}$ pletiva a chceme-li celkový obsah výběhu co největší? (Pletivo bude použito i na přepážky.)
$a=5\,\mathrm{m}$, $b=12{,}5\,\mathrm{m}$
$a=4\,\mathrm{m}$, $b=15\,\mathrm{m}$
$a=4{,}5\,\mathrm{m}$, $b=13{,}75\,\mathrm{m}$
$a=6{,}5\,\mathrm{m}$, $b=8{,}75\,\mathrm{m}$

1103266405

Část: 
C
Adamův dům ($A$) je umístěn ve vzdálenosti $0{,}9\,\mathrm{km}$ od cesty, po níž jezdí autobusy. Zastávka autobusu ($B$) je umístěna na této cestě ve vzdálenosti $1{,}5\,\mathrm{km}$ od domu (viz obrázek). Adam zaspal a potřebuje se co nejrychleji dostat na zastávku. V jaké vzdálenosti $x$ od nejbližšího bodu $P$ se má na cestu napojit, jestliže v terénu se může pohybovat rychlostí $6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a po cestě rychlostí $10\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$?
$0{,}675\,\mathrm{km}$
$0{,}525\,\mathrm{km}$
$0{,}625\,\mathrm{km}$
$0{,}575\,\mathrm{km}$

1103266406

Část: 
C
Středověký stavitel má železný pás o délce $5$ loktů, ze kterého potřebuje vytvarovat rám románského okna (to je sjednocením obdélníku a půlkruhu, viz obrázek). Určete optimální šířku okna $x$, aby jím procházelo co nejvíce světla (tzn. aby plocha okna byla co největší). Výsledek vyjádřete zaokrouhleně v palcích ($1$ loket = $45$ palců).
$63$
$140$
$32$
$112$
$83$
$20$