Užití diferenciálního počtu

2010012501

Část: 
C
Najděte globální extrémy funkce \( f \) na intervalu \( \langle 0;2 \rangle \). \[ f(x)=x^3+3x^2-9x \]
Globální minimum v bodě \( x=1 \), globální maximum v bodě \( x=2 \)
Globální minimum v bodě \( x=1 \), globální maximum v bodě \( x=-3 \)
Globální minimum v bodě \( x=2 \), globální maximum v bodě \( x=1 \)
Globální minimum v bodě \( x=0 \), globální maximum v bodě \( x=2 \)

2010012502

Část: 
C
Vyberte pravdivé tvrzení o funkci \(f(x) = x^{3} +6x^{2} + 12x -1\).
Funkce \(f\) nemá žádný lokální extrém.
Funkce \(f\) má lokální minimum v bodě \(x = -2\).
Funkce \(f\) má lokální maximum v bodě \(x = -2\).
Globální minimum funkce \(f\) na množině \(\mathbb{R}\) je v bodě \(x = -2\).

2010013705

Část: 
C
Elektrický zdroj je charakterizován elektromotorickým napětím \(U_e=60\,\mathrm{V}\) a vnitřním odporem \(R_i=2\,\Omega\). Určete, při jaké hodnotě elektrického proudu bude ve spotřebiči maximální výkon a příslušnou hodnotu maximálního výkonu. \[\] Nápověda: Výkon spotřebiče (\(P\), jednotka Watt (\(\mathrm{W}\))), závisí na velikosti protékajícího proudu (\(I\), jednotka Ampér (\(\mathrm{A}\))) vztahem \(P=U_eI-R_iI^2\). Vlastnosti zdroje mají úlohu parametrů: \(U_e\) je elektromotorické napětí a \(R_i\) vnitřní odpor zdroje.
\(15\,\mathrm{A},\ 450\,\mathrm{W}\)
\(15\,\mathrm{A},\ 870\,\mathrm{W}\)
\(30\,\mathrm{A},\ 1740\,\mathrm{W}\)
\(10\,\mathrm{A},\ 400\,\mathrm{W}\)

2010013706

Část: 
C
Elektrický zdroj je charakterizován elektromotorickým napětím \(U_e=40\,\mathrm{V}\) a vnitřním odporem \(R_i=2\,\Omega\). Určete, při jaké hodnotě elektrického proudu bude ve spotřebiči maximální výkon a příslušnou hodnotu maximálního výkonu. \[\] Nápověda: Výkon spotřebiče (\(P\), jednotka Watt (\(\mathrm{W}\))), závisí na velikosti protékajícího proudu (\(I\), jednotka Ampér (\(\mathrm{A}\))) vztahem \(P=U_eI-R_iI^2\). Vlastnosti zdroje mají úlohu parametrů: \(U_e\) je elektromotorické napětí a \(R_i\) vnitřní odpor zdroje.
\(10\,\mathrm{A},\ 200\,\mathrm{W}\)
\(10\,\mathrm{A},\ 380\,\mathrm{W}\)
\(20\,\mathrm{A},\ 760\,\mathrm{W}\)
\(4\,\mathrm{A},\ 128\,\mathrm{W}\)

2010013707

Část: 
C
Těleso vystřelíme svisle vzhůru počáteční rychlostí \(v_0=60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Určete dobu, za kterou těleso vystoupá do maximální výšky a příslušnou maximální dosaženou výšku. \[\] Nápověda: Vrh svislý vzhůru je pohyb složený z pohybu rovnoměrně přímočarého (svisle vzhůru rychlostí \(v_0\)) a volného pádu. Okamžitá výška tělesa (\(h\)) závisí na čase (\(t\)) vztahem \(h=v_0t-\frac12gt^2\), kde \(v_0\) je velikost počáteční rychlosti a \(g\) tíhové zrychlení. V této úloze počítejte se zaokrouhlenou hodnotou \(g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Čas \(t\) měříme v sekundách, výšku \(h\) měříme v metrech.
\(6\,\mathrm{s}\), \(180\,\mathrm{m}\)
\(6\,\mathrm{s}\), \(330\,\mathrm{m}\)
\(12\,\mathrm{s}\), \(660\,\mathrm{m}\)
\(3\,\mathrm{s}\), \(135\,\mathrm{m}\)

2010013708

Část: 
C
Těleso vystřelíme svisle vzhůru počáteční rychlostí \(v_0=80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Určete dobu, za kterou těleso vystoupá do maximální výšky a příslušnou maximální dosaženou výšku. \[\] Nápověda: Vrh svislý vzhůru je pohyb složený z pohybu rovnoměrně přímočarého (svisle vzhůru rychlostí \(v_0\)) a volného pádu. Okamžitá výška tělesa (\(h\)) závisí na čase (\(t\)) vztahem \(h=v_0t-\frac12gt^2\), kde \(v_0\) je velikost počáteční rychlosti a \(g\) tíhové zrychlení. V této úloze počítejte se zaokrouhlenou hodnotou \(g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Čas \(t\) měříme v sekundách, výšku \(h\) měříme v metrech.
\(8\,\mathrm{s}\), \(320\,\mathrm{m}\)
\(8\,\mathrm{s}\), \(600\,\mathrm{m}\)
\(16\,\mathrm{s}\), \(1190\,\mathrm{m}\)
\(4\,\mathrm{s}\), \(230\,\mathrm{m}\)

2010017804

Část: 
C
Pletivem o délce \(60\,\mathrm{m}\) máme ohradit zahradu tvaru obdélníku se dvěma vnitřními přepážkami (viz obrázek). Jaké rozměry \(a\) a \(b\) bude mít zahrada, jestliže v jedné stěně má být otvor o délce \(2\,\mathrm{m}\) a ohraničená plocha má být co největší? (Pletivo bude použito i na přepážky.)
$a=7{,}75\,\mathrm{m}$, $b=15{,}5\,\mathrm{m}$
$a=7{,}25\,\mathrm{m}$, $b=16{,}5\,\mathrm{m}$
$a=7{,}5\,\mathrm{m}$, $b=16\,\mathrm{m}$
$a=10\,\mathrm{m}$, $b=11\,\mathrm{m}$

2010017805

Část: 
C
Jaké rozměry (v cm) musí mít skleněné akvárium tvaru kvádru s čtvercovým dnem, aby jeho objem byl \(20\) litrů a povrch akvária byl co nejmenší? (Uvažujeme kvádr bez horní podstavy.)
$a\doteq 34{,}2\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 17{,}1\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 27{,}1\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 27{,}1\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 63{,}2\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 5\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 13{,}6\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 108{,}6\,\mathrm{cm}$

2010017806

Část: 
C
Velkou desku čtvercového tvaru o straně \(4\,\mathrm{m}\) chceme na jedné straně zvednout tak, aby vzniknul přístřešek (viz obrázek). Do jaké výšky \(h\) musíme stranu desky zvednout, aby vzniklý přístřešek měl co největší objem?
$h=2\sqrt2\,\mathrm{m}$
$h=4\cdot \sqrt{\frac23}\,\mathrm{m}$
$h=\frac43\sqrt3\,\mathrm{m}$
$h=\left( -\frac12 + \sqrt{65}\right)\,\mathrm{m}$