C

1103233602

Časť: 
C
V kocke $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$, ktorá je umiestnená v súradnicovom systéme, je vyznačený pravidelný štvorsten $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť jeho protiľahlých hrán. \[ \] Nápoveda: Protiľahlé hrany štvorstena ležia na mimobežných priamkach. Ich vzdialenosť je rovná vzdialenosti stredu jednej hrany od hrany k nej protiľahlej.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233601

Časť: 
C
Nech $ABCDEFGH$ je kocka s dĺžkou hrany $1$ umiestnená v pravouhlon súradnicovo systéme. V kocke je zvýraznený pravidelný tetraéder $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte jeho výšku.\[ \] Nápoveda: Nájdite napr. vzdialenosť medzi bodom $F$ a rovinou $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1103040208

Časť: 
C
Sú dané body $A = [4;5;-1]$, $B = [-2;-1;2]$, $C = [-1;-3;0]$ a $D = [0;m;2]$. Určte chýbajúcu súradnicu bodu $D$ tak, aby bod $D$ ležal v rovine určenej bodmi $A$, $B$ a $C$. Nápoveda: Použite lineárnu kombináciu vektorov vyznačených na obrázku alebo použite ich zmiešaný súčin.
$m=3$
$m=-3$
$m=1$
$m$ neexistuje

1003040207

Časť: 
C
Sú dané body $A = [2;0;3]$ a $B = [-1;2;0]$. Určte súradnice všetkých takých bodov $C$ ležiacich na osi $z$, aby obsah trojuholníka $ABC$ bol $2\sqrt2$. Nápoveda: Použite vektorový súčin vektorov.
$C_1=[0;0;1];\ C_2=\left[0;0;\frac{29}{13}\right]$
$C_1=[0;0;1];\ C_2=\left[0;0;-1\right]$
$C_1=[0;0;-1];\ C_2=\left[0;0;\frac{13}{29}\right]$
$C_1=[0;0;-1];\ C_2=\left[0;0;\frac{29}{13}\right]$