C

9000039108

Časť: 
C
Za predpokladu \(z\in \mathbb{C}\), vyriešte danú rovnicu. \[ 2z -\mathrm{i}\, \overline{z} = 1 -\mathrm{i} \]
\(z = \frac{1} {3} -\frac{1} {3}\mathrm{i}\)
\(z = 1 + \mathrm{i}\)
\(z = -\frac{3} {5} + \frac{6} {5}\mathrm{i}\)
\(z = -\frac{1} {5} -\frac{3} {5}\mathrm{i}\)

9000046505

Časť: 
C
Vyberte najlepšiu variantu z ponúkaných substitúcií alebo úprav, ktorý môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepšiu nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \sin x = 1 +\cos x \]
\(\sin ^{2}x = 1 + 2\cos x +\cos ^{2}x\)
\(\sin ^{2}x = 1 +\cos ^{2}x\)
substitúcia \( 1 +\cos x = z\)
\(\sin x -\cos x = z\)

9000046507

Časť: 
C
Vyberte najlepšiu variantu z ponúkaných substitúcií alebo úprav, ktorý môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepšiu nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \sqrt{3}\cos x = 1 -\sin x \]
\(3\cos ^{2}x = (1 -\sin x)^{2}\)
\(3\cos ^{2}x = 1 -\sin ^{2}x\)
substitúcia \( 1 -\sin x = z\)
substitúcia \( \cos x = z\)

9000046508

Časť: 
C
Vyberte najlepší variant z ponúkaných substitúcií alebo úprav, ktorý môžeme použiť pri riešení rovnice. Za najlepší nepovažujeme tú možnosť, ktorú síce použiť môžeme, ale riešenie sa tým skomplikuje. \[ \sqrt{3}\sin x = 2 -\cos x \]
\(3\sin ^{2}x = 4 - 4\cos x +\cos ^{2}x\)
substitúcia \( 2 -\cos x = z\)
\(3\sin ^{2}x = 4 -\cos ^{2}x\)
\(3\sin ^{2}x = 1 - 2\cos x +\cos ^{2}x\)

9000038705

Časť: 
C
Kváder položíme na naklonenú rovinu so sklonom \(\alpha = 45^{\circ }\). V gravitačnom poli Zeme na ňu bude pôsobiť gravitačná sila \(\vec{F_{G}}\), sila od podložky \(\vec{F_{p}}\) a sila trenia \(\vec{F_{t}}\). Gravitačnú silu môžeme nahradiť jej zložkami \(\vec{F_{1}}\) a \(\vec{F_{n}}\), kde \(\vec{F_{1}}\) má smer rovnobežný s naklonenou rovinou a \(\vec{F_{n}}\) je na ňu kolmá. Pre veľkosť trecej sily platí \(F_{t} = fF_{n}\). Súčiniteľ šmykového trenia \(f = 0{,}5\). Gravitačné zrýchlenie \(g\doteq 10\, \mathrm{m\, s^{-2}}\). Kváder sa bude pohybovať po naklonenej rovine so zrýchlením o veľkosti:
\(a = \frac{5\sqrt{2}} {2} \, \mathrm{m\, s^{-2}}\)
\(a = 5\sqrt{2}\, \mathrm{m\, s^{-2}}\)
\(a = 5\sqrt{3}\, \mathrm{m\, s^{-2}}\)
\(a = 0\, \mathrm{m\, s^{-2}}\)
\(a = 5\, \mathrm{m\, s^{-2}}\)
\(a = \frac{5\sqrt{3}} {2} \, \mathrm{m\, s^{-2}}\)

9000038706

Časť: 
C
Kváder položíme na naklonenú rovinu so sklonom \(\alpha \). V gravitačnom poli Zeme na neho bude pôsobiť gravitačná sila \(\vec{F_{G}}\), sila od podložky \(\vec{F_{p}}\) a sila trenia \(\vec{F_{t}}\). Gravitačnú silu môžeme nahradiť jej zložkami \(\vec{F_{1}}\) a \(\vec{F_{n}}\), kde \(\vec{F_{1}}\) má smer rovnobežný s naklonenou rovinou a \(\vec{F_{n}}\) je na ňu kolmá. Pre veľkosť trecej sily platí \(F_{t} = fF_{n}\). Súčiniteľ šmykového trenia \(f = 0{,}47\). Gravitačné zrýchlenie \(g\doteq 10\, \mathrm{m\, s^{-2}}\). Pri akom uhle \(\alpha \) sa môže kváder po naklonenej rovine pohybovať rovnomerne?
\(\alpha \doteq 25^{\circ }\)
\(\alpha \doteq 15^{\circ }\)
\(\alpha \doteq 20^{\circ }\)
\(\alpha \doteq 65^{\circ }\)
\(\alpha \doteq 28^{\circ }\)
\(\alpha \doteq 62^{\circ }\)

9000038707

Časť: 
C
Kváder položíme na naklonenú rovinu o dĺžke \(l = 2\, \mathrm{m}\) a výške \(h = 1{,}2\, \mathrm{m}\). V gravitačnom poli Zeme na neho bude pôsobiť gravitačná sila \(\vec{F_{G}}\), sila od podložky \(\vec{F_{p}}\) a sila trenia \(\vec{F_{t}}\). Gravitačnú silu môžeme nahradiť jej zložkami \(\vec{F_{1}}\) a \(\vec{F_{n}}\), kde \(\vec{F_{1}}\) má smer rovnobežný s naklonenou rovinou a \(\vec{F_{n}}\) je na ňu kolmá. Pre veľkosť trecej sily platí \(F_{t} = fF_{n}\), kde \(f\) je súčiniteľ šmykového trenia. Gravitačné zrýchlenie \(g\doteq 10\, \mathrm{m\, s^{-2}}\). Aký veľký musí byť súčiniteľ šmykového trenia \(f\), aby sa kváder nepohyboval zrýchlene? Musel by byť aspoň:
\(f = 0{,}75\)
\(f = 0{,}6\)
\(f = 0{,}65\)
\(f = 0{,}7\)
\(f = 0{,}55\)
\(f = 0{,}8\)