Využitie diferenciálneho počtu

2010012501

Časť: 
C
Najdite globálne extrémy funkcie \( f \) na intervale \( \langle 0;2 \rangle \). \[ f(x)=x^3+3x^2-9x \]
Globálne minimum v bode \( x=1 \), globálne maximum v bode \( x=2 \).
Globálne minimum v bode \( x=1 \), globálne maximum v bode \( x=-3 \).
Globálne minimum v bode \( x=2 \), globálne maximum v bode \( x=1 \).
Globálne minimum v bode \( x=0 \), globálne maximum v bode \( x=2 \).

2010012502

Časť: 
C
Vyberte pravdivé tvrdenie o nasledujúcej funkcii \(f(x) = x^{3} +6x^{2} + 12x -1\).
Funkcia \(f\) nemá žiadny lokálny extrém.
Funkcia \(f\) má lokálne maximum v bode \(x = -2\).
Funkcia \(f\) má lokálne minimum v bode \(x = -2\).
Globálne minimum funkcie \(f\) na množine \(\mathbb{R}\) je v bode \(x = -2\).

2010013705

Časť: 
C
Elektrický zdroj je charakterizovaný elektromotorickým napätím \(U_e=60\,\mathrm{V}\) a vnútorným odporom \(R_i=2\,\Omega\). Určte, pri akej hodnote elektrického prúdu bude v spotrebiči maximálny výkon a tiež príslušnú hodnotu maximálneho výkonu. \[\] Pomôcka: Výkon spotrebiča (\(P\), jednotka Watt (\(\mathrm{W}\))), závisí na veľkosti pretekajúceho prúdu (\(I\), jednotka Ampér (\(\mathrm{A}\))) vzťahom \(P=U_eI-R_iI^2\). Vlastnosti zdroja majú úlohu parametrov: \(U_e\) je elektromotorické napätie a \(R_i\) vnútorného odporu zdroja.
\(15\,\mathrm{A},\ 450\,\mathrm{W}\)
\(15\,\mathrm{A},\ 870\,\mathrm{W}\)
\(30\,\mathrm{A},\ 1740\,\mathrm{W}\)
\(10\,\mathrm{A},\ 400\,\mathrm{W}\)

2010013706

Časť: 
C
Elektrický zdroj je charakterizovaný elektromotorickým napätím \(U_e=40\,\mathrm{V}\) a vnútorným odporom \(R_i=2\,\Omega\). Určte, pri akej hodnote elektrického prúdu bude v spotrebiči maximálny výkon a tiež príslušnú hodnotu maximálneho výkonu. \[\] Pomôcka: Výkon spotrebiča (\(P\), jednotka Watt (\(\mathrm{W}\))), závisí na veľkosti pretekajúceho prúdu (\(I\), jednotka Ampér (\(\mathrm{A}\))) vzťahom \(P=U_eI-R_iI^2\). Vlastnosti zdroja majú úlohu parametrov: \(U_e\) je elektromotorické napätie a \(R_i\) vnútorného odporu zdroja.
\(10\,\mathrm{A},\ 200\,\mathrm{W}\)
\(10\,\mathrm{A},\ 380\,\mathrm{W}\)
\(20\,\mathrm{A},\ 760\,\mathrm{W}\)
\(4\,\mathrm{A},\ 128\,\mathrm{W}\)

2010013707

Časť: 
C
Teleso vystrelíme zvislo nahor začiatočnou rýchlosťou \(v_0=60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Určte čas, za ktorý teleso vystúpi do maximálnej výšky a tiež príslušnú maximálnu dosiahnutú výšku. \[\] Pomôcka: Zvislý vrh nahor je pohyb zložený z pohybu rovnomerne priamočiareho (zvislo nahor rýchlosťou \(v_0\)) a voľného pádu. Okamžitá výška telesa (\(h\)) závisí na čase (\(t\)) vzťahom \(h=v_0t-\frac12gt^2\), kde \(v_0\) je veľkosť začiatočnej rýchlosti a \(g\) tiažové zrýchlenie. V tejto úlohe počítajte so zaokrúhlenou hodnotou \(g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Čas \(t\) meriame v sekundách, výšku \(h\) meriame v metroch.
\(6\,\mathrm{s}\), \(180\,\mathrm{m}\)
\(6\,\mathrm{s}\), \(330\,\mathrm{m}\)
\(12\,\mathrm{s}\), \(660\,\mathrm{m}\)
\(3\,\mathrm{s}\), \(135\,\mathrm{m}\)

2010013708

Časť: 
C
Teleso vystrelíme zvislo nahor začiatočnou rýchlosťou \(v_0=80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Určte čas, za ktorý teleso vystúpi do maximálnej výšky a tiež príslušnú maximálnu dosiahnutú výšku. \[\] Pomôcka: Zvislý vrh nahor je pohyb zložený z pohybu rovnomerne priamočiareho (zvislo nahor rýchlosťou \(v_0\)) a voľného pádu. Okamžitá výška telesa (\(h\)) závisí na čase (\(t\)) vzťahom \(h=v_0t-\frac12gt^2\), kde \(v_0\) je veľkosť začiatočnej rýchlosti a \(g\) tiažové zrýchlenie. V tejto úlohe počítajte so zaokrúhlenou hodnotou \(g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Čas \(t\) meriame v sekundách, výšku \(h\) meriame v metroch.
\(8\,\mathrm{s}\), \(320\,\mathrm{m}\)
\(8\,\mathrm{s}\), \(600\,\mathrm{m}\)
\(16\,\mathrm{s}\), \(1190\,\mathrm{m}\)
\(4\,\mathrm{s}\), \(230\,\mathrm{m}\)

2010017804

Časť: 
C
Pletivom o dĺžke \(60\,\mathrm{m}\) máme oplotiť záhradu tvaru obdĺžnika s dvoma vnútornými stenami (pozri obrázok). Aké budú rozmery \(a\) a \(b\) tejto záhrady, ak v jednej vonkajšej stene má býť otvor dĺžky \(2\,\mathrm{m}\) a ohraničená plocha má býť čo najväčšia? (Pletivo bude použité aj na vnútorné steny.)
$a=7{,}75\,\mathrm{m}$, $b=15{,}5\,\mathrm{m}$
$a=7{,}25\,\mathrm{m}$, $b=16{,}5\,\mathrm{m}$
$a=7{,}5\,\mathrm{m}$, $b=16\,\mathrm{m}$
$a=10\,\mathrm{m}$, $b=11\,\mathrm{m}$

2010017805

Časť: 
C
Aké rozmery (v cm) musí mať sklenené akvárium tvaru kvádra so štvorcovým dnom, aby jeho objem bol \(20\) litrov a povrch akvária aby bol čo nejmenší? (Uvažujeme kváder bez hornej podstavy.)
$a\doteq 34{,}2\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 17{,}1\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 27{,}1\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 27{,}1\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 63{,}2\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 5\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 13{,}6\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 108{,}6\,\mathrm{cm}$

2010017806

Časť: 
C
Veľkú dosku štvorcového tvaru so stranou \(4\,\mathrm{m}\) chceme na jednej strane zdvihnúť tak, aby vznikol prístrešok (pozri obrázok). Do akej výšky \(h\) musíme stranu dosky zvihnúť, aby vzniknutý prístrešok mal čo najväčší objem?
$h=2\sqrt2\,\mathrm{m}$
$h=4\cdot \sqrt{\frac23}\,\mathrm{m}$
$h=\frac43\sqrt3\,\mathrm{m}$
$h=\left( -\frac12 + \sqrt{65}\right)\,\mathrm{m}$