Zastosowanie pochodnych

2010012501

Część: 
C
Znajdź ekstrema globalne następującej funkcji na przedziale \( \langle 0;2 \rangle \). \[ f(x)=x^3+3x^2-9x \]
globalne minimum w \( x=1 \), globalne maksimum w \( x=2 \)
globalne minimum w \( x=1 \), globalne maksimum w \( x=-3 \)
globalne minimum w \( x=2 \), globalne maksimum w \( x=1 \)
globalne minimum w \( x=0 \), globalne maksimum w \( x=2 \)

2010012502

Część: 
C
Wybierz prawdziwe stwierdzenie dotyczące funkcji \(f(x) = x^{3} +6x^{2} + 12x -1\).
Funkcja \(f\) nie ma ekstremów lokalnych.
Funkcja \(f\) ma lokalne maksimum w \(x = -2\).
Funkcja \(f\) ma lokalne minimum w punkcie \(x = -2\).
Globalne minimum funkcji \(f\) w \(\mathbb{R}\) jest w punkcie \(x = -2\).

2010013705

Część: 
C
Źródło elektryczne charakteryzuje się napięciem elektromotorycznym \(U_e=60\,\mathrm{V}\) i rezystancją wewnętrzną \(R_i=2\,\Omega\). Określ wartość prądu elektrycznego, przy której będzie maksymalna moc w urządzeniu, a także odpowiednią wartość tej maksymalnej mocy. \[\] Wskazówka: Moc odbiornika (\(P\), jednostka Watt (\(\mathrm{W}\))) zależy od wielkości przepływającego prądu (\(I\), jednostka Amper (\(\mathrm{A}\))) według wzoru \(P=U_eI-R_iI^2\). Własności źródła pełnią rolę parametrów: \(U_e\) jest to napięcie elektromotoryczne i \(R_i\) wewnętrzna rezystancja źródła.
\(15\,\mathrm{A},\ 450\,\mathrm{W}\)
\(15\,\mathrm{A},\ 870\,\mathrm{W}\)
\(30\,\mathrm{A},\ 1740\,\mathrm{W}\)
\(10\,\mathrm{A},\ 400\,\mathrm{W}\)

2010013706

Część: 
C
Źródło elektryczne charakteryzuje napięcie elektromotoryczne \(U_e=40\,\mathrm{V}\), oraz opór wewnętrzny \(R_i=2\,\Omega\). Określ wartość prądu elektrycznego dla której moc urządzenia będzie maksymalna i określ wartość tej maksymalnej mocy. \[\] Wskazówka: Moc urządzenia (\(P\), jednostka Wat (\(\mathrm{W}\))) zależy od wielkości przepływającego prądu (\(I\), jednostka Amper (\(\mathrm{A}\))) według zależności \(P=U_eI-R_iI^2\). Własności źródła pełnią rolę parametrów: \(U_e\) to napięcie elektromotoryczne, a \(R_i\) jest wewnętrznym oporem źródła.
\(10\,\mathrm{A},\ 200\,\mathrm{W}\)
\(10\,\mathrm{A},\ 380\,\mathrm{W}\)
\(20\,\mathrm{A},\ 760\,\mathrm{W}\)
\(4\,\mathrm{A},\ 128\,\mathrm{W}\)

2010013707

Część: 
C
Załóżmy, że rzucamy obiektem pionowo w górę z prędkością początkową \(v_0=60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Określ czas potrzebny do osiągnięcia przez obiekt maksymalnej wysokości i określ również odpowiednią wysokość maksymalną. \[\] Wskazówka: Pionowy ruch ciała w górę to ruch składający się z ruchu jednostajnie prostoliniowego (pionowo w górę) i swobodnego spadania. Zależność chwilowej wysokości ciała od czasu wyraża wzór \(h=v_0t-\frac12gt^2\), gdzie \(v_0\) jest wielkością prędkości początkowej, a \(g\) to przyspieszenie grawitacyjne. W tym zadaniu przyjmij zaokrągloną wartość \(g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Mierzymy czas \(t\) w sekundach i wysokość \(h\) w metrach.
\(6\,\mathrm{s}\), \(180\,\mathrm{m}\)
\(6\,\mathrm{s}\), \(330\,\mathrm{m}\)
\(12\,\mathrm{s}\), \(660\,\mathrm{m}\)
\(3\,\mathrm{s}\), \(135\,\mathrm{m}\)

2010013708

Część: 
C
Załóżmy, że rzucamy obiektem pionowo w górę z prędkością początkową \(v_0=80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Określ czas potrzebny do osiągnięcia przez obiekt maksymalnej wysokości i określ również odpowiednią wysokość maksymalną. \[\] Wskazówka: Pionowy ruch ciała w górę to ruch składający się z ruchu jednostajnie prostoliniowego (pionowo w górę) i swobodnego spadania. Zależność chwilowej wysokości ciała od czasu wyraża wzór \(h=v_0t-\frac12gt^2\), gdzie \(v_0\) jest wielkością prędkości początkowej, a \(g\) to przyspieszenie grawitacyjne. W tym zadaniu przyjmij zaokrągloną wartość \(g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\). Mierzymy czas \(t\) w sekundach i wysokość \(h\) w metrach.
\(8\,\mathrm{s}\), \(320\,\mathrm{m}\)
\(8\,\mathrm{s}\), \(600\,\mathrm{m}\)
\(16\,\mathrm{s}\), \(1190\,\mathrm{m}\)
\(4\,\mathrm{s}\), \(230\,\mathrm{m}\)

2010017804

Część: 
C
Używając siatki drucianej o długości \(60\,\mathrm{m}\) ogrodzimy prostokątny ogród z dwoma wewnętrznymi przegrodami (patrz rysunek). Jakie będą wymiary \(a\) i \(b\) ogrodu, jeśli w jednej ze ścian zewnętrznych jest \(2\,\mathrm{m}\) szeroki otwór, a powierzchnia ogrodu powinna być jak największa? (Siatka druciana służy również do wykonywania ścian wewnętrznych.)
$a=7{,}75\,\mathrm{m}$, $b=15{,}5\,\mathrm{m}$
$a=7{,}25\,\mathrm{m}$, $b=16{,}5\,\mathrm{m}$
$a=7{,}5\,\mathrm{m}$, $b=16\,\mathrm{m}$
$a=10\,\mathrm{m}$, $b=11\,\mathrm{m}$

2010017805

Część: 
C
Jakie wymiary (w centymetrach) musi mieć szklane akwarium w kształcie prostopadłościanu z kwadratowym dnem, aby jego objętość wynosiła \(20\) litrów, a powierzchnia akwarium była jak najmniejsza. (Rozważamy prostopadłościan bez pokrywy.)
$a\doteq 34{,}2\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 17{,}1\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 27{,}1\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 27{,}1\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 63{,}2\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 5\,\mathrm{cm}$
$a\doteq 13{,}6\,\mathrm{cm}$, $v\doteq 108{,}6\,\mathrm{cm}$

2010017806

Część: 
C
Chcemy podnieść krawędź dużej kwadratowej płyty o boku \(4\,\mathrm{m}\) tak, aby tworzyła schronienie (patrz rysunek). Na jaką wysokość \(h\) musimy podnieść krawędź płyty, jeśli stworzony schron ma mieć największą możliwą objętość?
$h=2\sqrt2\,\mathrm{m}$
$h=4\cdot \sqrt{\frac23}\,\mathrm{m}$
$h=\frac43\sqrt3\,\mathrm{m}$
$h=\left( -\frac12 + \sqrt{65}\right)\,\mathrm{m}$