Combinatoria

Un cuenco contiene $12$ ositos de goma diferentes y $20$ caramelos diferentes. Ana puede elegir entre un caramelo o un osito de goma. Del resto, Jana puede elegir un caramelo y dos ositos de goma. Ana quiere facilitar al máximo las posibilidades para la elección de Jane. ¿Qué debería elegir Ana?

Hay cuatro caminos desde una ciudad hasta la cima de una montaña cercana. Halla el número de rutas posibles desde la ciudad a la montaña y viceversa suponiendo que es necesario utilizar un camino hacia arriba y otro hacia abajo.

Suponiendo que $x\in \mathbb{N}$, halla la solución de la siguiente ecuación. $$\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{x}{x}\right)+\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{x+1}{x}\right)+\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{x+2}{x}\right)+\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{x+3}{x}\right)=\frac{x^3+59}{6}$$

Sea $A$ un conjunto con $n$ elementos diferentes. El número de permutaciones de $5$ elementos con repetición es $1024$. Calcula $n$. (El término „$k$-permutación con repetición” significa una disposición ordenada de $k$ objetos de un conjunto de $n$ objetos, donde cada objeto puede ser elegido más de una vez).