Primitivní funkce

2010000301

Část: 
B
Vypočtěte \[ \int \frac{\cos 2x} {\cos ^{2}x}\, \mathrm{d}x \] na intervalu \(\left(0;\frac{\pi}2\right)\).
\(2x -\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x + c,\ c\in \mathbb{R}\)
\(\frac{\sin 2x} {\frac{1} {3} \sin ^{3}x} + c,\ c\in \mathbb{R}\)
\(2x +\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x + c,\ c\in \mathbb{R}\)

Typ primitivní funkce

Napsal uživatel ladislav.foltyn dne Po, 06/10/2019 - 16:17.
Question: 
\vspace{-1em} Určete typ funkce, která je řešením zadaného neurčitého integrálu. \\[15pt] \textbf{Notation}:\\[5pt] $A$ -- konstantní, $B$ -- lineární, $C$ -- kvadratická, $D$ -- racionální, $E$ -- exponenciální, $F$ -- logaritmická, $X$ -- žádná z uvedených.

1003107809

Část: 
B
Řešte neurčitý integrál $\int\frac{8x^7-30x^5}{x^8-5x^6+2}\,\mathrm{d}x$ na $(3;\infty)$.
$\ln\left|x^8-5x^6+2\right|+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\ln\left|8x^7-30x^5+2x\right|+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\log\left|x^8-5x^6+2\right|+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\log\left|8x^7-30x^5+2x\right|+c$, $c\in\mathbb{R}$

1003107808

Část: 
B
Řešte užitím substituce $a=\ln⁡ x$ neurčitý integrál $\int\frac{\ln^5⁡x}x\,\mathrm{d}x$ na $(0;\infty)$.
$\frac{\ln^6x}6+c$, $c\in\mathbb{R}$
$5\ln^4x+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\frac{\ln^2x}2+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\frac12\ln^5x+c$, $c\in\mathbb{R}$

1003107807

Část: 
A
Určete takovou funkci $F(x)$, která je primitivní k funkci $f(x)=2^x\cdot\ln⁡2+4^x\cdot2\ln⁡2+8^x\cdot3\ln⁡2$ na $\mathbb{R}$ a splňuje podmínku $F(0)=5$.
$F(x)=2^x+4^x+8^x+2$
$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{4^x}{\ln 4}+\frac{8^x}{\ln 8}+2x$
$F(x)=2^x+4^x+8^x+5$
$F(x)=2^x\cdot\ln2+2^{x+1}\cdot\ln2+2^{x+3}\cdot\ln2+5$

1003107806

Část: 
A
Určete funkci $f(x)$ tak, aby platilo: $f''(x)=\mathrm{e}^x+x^5$ na $\mathbb{R} $, $ f(0)=1$ a $f(1)=\frac{43}{42}$.
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+(1-\mathrm{e})x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+(-\mathrm{e}-1)x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{7}{6}x^7+x-\mathrm{e}x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+\frac{43}{42}$

1003107805

Část: 
A
Určete funkci $f(x)$ tak, aby platilo: $f'(x)=x^5-\sqrt[4]x$ na $(0;\infty)\wedge f(1)=-1$.
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac45x\sqrt[4]x-\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac45\sqrt[4]{x^5}+\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac54x\sqrt[4]x-\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac54x\sqrt[4]x+\frac{11}{30}$

1003107804

Část: 
B
Čtyři dívky počítaly neurčitý integrál $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$ na $\mathbb{R}$. Anička začala integrovat metodou per partes takto: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=\sin^2⁡x-\int\cos x\cdot\sin x\,\mathrm{d}x$. Bětka integrovala rovněž metodou per partes, ale takto: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=-\cos^2 x-\int\sin x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$. Klára použila substituci $a=\sin ⁡x$ takto: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=\int a\,\mathrm{d}a$. Diana integrovala přímo $\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=-\cos x\cdot\sin⁡ x+c$, $c\in\mathbb{R}$. Která z dívek udělala chybu?
Diana
Anička
Bětka
Klára