Analytická geometrie v prostoru

1103233604

Část: 
C
Určete obraz bodu $A=[1;10;-8]$ v osové souměrnosti podle přímky $p$: \begin{align*} p\colon x&= 1-2t, \\ y&= 3+t, \\ z&= -1+3t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Nápověda: viz obrázek
$A'=[5;-6;0]$
$A'=[3;2;-4]$
$A'=[-1;11;-5]$
$A'=[-2;10;-24]$

1103233603

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Vypočtěte odchylku jeho stěn a zaokrouhlete ji na minuty.
$70^{\circ}32'$
$54^{\circ}44'$
$45^{\circ}$
$51^{\circ}4'$

1103233602

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Vypočtěte vzdálenost jeho protilehlých hran. \[ \] Nápověda: Protilehlé hrany čtyřstěnu leží na mimoběžných přímkách. Jejich vzdálenost je rovna vzdálenosti středu jedné hrany od hrany k ní protilehlé.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233601

Část: 
C
V krychli $ABCDEFGH$ s hranou délky $1$, která je umístěna v souřadném systému, je vyznačen pravidelný čtyřstěn $ACHF$ (viz obrázek). Určete velikost jeho tělesové výšky. \[ \] Nápověda: Vypočtěte např. vzdálenost bodu $F$ od roviny $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1003189005

Část: 
B
Přímka \( p \) je dána parametrickými rovnicemi: \begin{align*} x&=1+t, \\ y&= 1+2t, \\ z&= 4-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Určete parametrické rovnice přímky \( p' \), která je kolmým průmětem přímky \( p \) do souřadné roviny \((xy)\) .
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9+2s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9-2s, \\ z&=0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=1+s, \\ y&=1+2s, \\ z&= 4;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+2s, \\ y&=9+s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103189004

Část: 
B
Je dán bod \( A=[2;-1;-4] \) a roviny \( \rho \): \( x-y+3z-5=0 \) a \( \sigma \): \( 2x-y-z-8=0 \). Určete obecnou rovnici roviny \( \alpha \), která prochází bodem \( A \) a je kolmá k oběma daným rovinám (viz obrázek).
\( \alpha\colon 4x+7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon -2x+5y-3z-3=0 \)
\( \alpha\colon 4x-7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon 2x-5y+3z+3=0 \)

1103189003

Část: 
B
Určete obecnou rovnici roviny \( \beta \), která prochází přímkou \( p \) danou parametrickými rovnicemi \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a je kolmá k rovině \( \alpha \): \( x+3y-z-7=0 \) (viz obrázek).
\( \beta\colon x-3y-8z+7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z-3=0 \)
\( \beta\colon x-3y-8z-7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z+3=0 \)

1103189002

Část: 
B
Určete obecnou rovnici roviny \( \beta \), která prochází body \( M=[-1;1;-3] \) a \( N=[0;2;-1] \) a je kolmá k rovině \( \alpha \): \( 3x-y+2=0 \) (viz obrázek).
\( \beta\colon x+3y-2z-8=0 \)
\( \beta\colon x+3z+10=0 \)
\( \beta\colon x+3z+3=0 \)
\( \beta\colon x+3y-2z+8=0 \)

1103189001

Část: 
B
Určete obecnou rovnici roviny \( \alpha \), která je kolmá k přímce \( p \): \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a prochází bodem \( A=[1;0;4] \). Dále vypočtěte souřadnice bodu \( B \), ve kterém přímka \( p \) protíná rovinu \( \alpha \) (viz obrázek).
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3=0;\ B=[8;2;3] \)
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[8;2;3] \)