Analytická geometrie v prostoru

Určete vzájemnou polohu přímek \(p\), \(q\), kde: \[\begin{aligned} p\colon x & = 1 + t, & & \\y & = 2 - t, & & \\z & = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} q\colon x & = 2s, & & \\y & = -1, & & \\z & = 2 - 2s;\ s\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]

Jsou dány body \(A = [0;1;2]\), \(B = [4;1;-2]\) a přímka \(p\colon x = 1 + t;\: y = 2 - t;\: z = 1 - t,\: t\in \mathbb{R}\). Určete průsečík přímky \(AB\) a přímky \(p\), případně zaškrtněte, že neexistuje.

Určete parametr \(m\) tak, aby přímky \(p\colon x = 1 + t;\: y = 2 - t;\: z = 1 - t,\: t\in \mathbb{R}\) a \(q\colon x = s;\: y = 1 + s;\: z = 3 + ms,\: s\in \mathbb{R}\) byly mimoběžné.

Jsou dány dvě rovnoběžné roviny \(\alpha \colon x - 1{,}5y - 3z - 1 = 0\), \(\beta \colon 2x - 3y - 6z + 3 = 0\). Určete vzdálenost těchto rovin.