Analytická geometrie v prostoru

1103212204

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 2 \) je umístěna v souřadném systému (viz obrázek). Bod \( M \) je střed hrany \( EF \). Určete obecnou rovnici roviny \( \rho \) procházející body \( B \), \( D \) a \( G \) a vypočtěte vzdálenost bodu \( M \) od roviny \( \rho \).
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)

1103212202

Část: 
C
Přímka \( p \) je zadána body \( M=[4;3;2] \) a \( N=[0;6;7] \) (viz obrázek). Určete parametrické rovnice přímky \( p' \) která je souměrná s přímkou \( p \) v rovinové souměrnosti podle souřadné roviny \( (yz) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t,\\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212203

Část: 
C
Přímka \( p \) je zadána body \( M=[4;3;2] \) a \( N=[8;0;5] \) (viz obrázek). Určete parametrické rovnice přímky \( p' \), která je souměrná s přímkou \( p \) v rovinové souměrnosti podle souřadné roviny \( (xz) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=0, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=-3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8-4t, \\ y&=3t, \\ z&=5-3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212201

Část: 
C
Přímka \( p \) je zadána body \( M=[4;2;0] \) a \( N=[6;6;7] \) (viz obrázek). Určete parametrické rovnice přímky \( p' \), která je s přímkou \( p \) rovinově souměrná podle souřadné roviny \( (xy) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124006

Část: 
A
Určete hodnotu parametru \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( D=[-2;1;1] \) ležel na přímce \( p \) s parametrickým vyjádřením: \[\begin{aligned} x&=1+m,\\ y&=-2+m,\\ z&=a+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}\]
taková hodnota \(a \) neexistuje
\( a=-1 \)
\( a=0 \)
\( a = 1\)

1003124005

Část: 
A
Určete hodnotu parametru \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( C=[2;0;6] \) ležel na přímce \( p \) s parametrickým vyjádřením: \[\begin{aligned} x&=-1+m,\\ y&=a+m,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R}\end{aligned}\]
\( a=-3 \)
\( a=0 \)
\( a=-1 \)
taková hodnota \(a \) neexistuje

1003124004

Část: 
A
Určete hodnotu parametru \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( B=[1;4;5] \) ležel na přímce \( p \) s parametrickým vyjádřením: \[\begin{aligned} x&=-1+m,\\ y&=2+am,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}\]
\( a=1 \)
\( a=-1 \)
\( a=2 \)
taková hodnota \( a \) neexistuje

1003124003

Část: 
A
Určete chybějící souřadnice bodu \( B=[x_B; y_B;-3] \) ležícího na přímce \( p \) s parametrickým vyjádřením: \[\begin{aligned} x&=-1+\frac14m,\\ y&=2+m,\\ z&=5-m;\ m\in\mathbb{R}\end{aligned} \]
\( B=[1;10;-3] \)
\( B=[-3;-6;-3] \)
\( B=[1;3;-3] \)
\( B=[-3;6;-3] \)

1003124002

Část: 
A
Z nabízených možností vyberte parametrické rovnice, které určují přímku \( p \) procházející body \( A=[-2;0;1] \) a \( B=[2;0;-3] \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2+4t, \\ y&=0, \\ z&=-3+4t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-2t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124001

Část: 
A
Je dána přímka \( q=\left\{[3t;2-2t;1+t]\text{, }t\in\mathbb{R}\right\} \) a body \( A=[-6;6;-1] \), \( B=[-3;0;0] \), \( C=[0;2;1] \) a \( D=[3;0;2] \). Vyberte z těchto čtyř bodů všechny, které leží na přímce \( q \), a tuto možnost označte.
\( A \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \)
\( A \), \( B \), \( C \)