Analytická geometrie v prostoru

2010008710

Část: 
C
Určete obraz bodu \(R=[1; 10; -8]\) v rovinné souměrnosti podle roviny \(\omega \colon 2x-y-3z+12=0\). Nápověda: Přímka \(RR'\) je kolmá k rovině \(\omega\) (viz obrázek).
\(R'=[-7;14;4]\)
\(R'=[-3;12;-2]\)
\(R'=[-1;-10;8]\)
\(R'=[-5;34;-14]\)

2010008709

Část: 
C
Určete obraz bodu \(P=[4; −8; 7]\) v rovinné souměrnosti podle roviny \(\sigma\colon 3x-2y+4z+2=0\). Nápověda: Přímka \(PP'\) je kolmá k rovině \(\sigma\) (viz obrázek).
\(P'=[-8;0;-9]\)
\(P'=[-2;-4;-1]\)
\(P'=[10;-12;15]\)
\(P'=[16;-16;23]\)

2010008708

Část: 
C
Určete obraz bodu \(B=[4;-8;-7]\) v osové souměrnosti podle přímky \(q\): \begin{align*} q\colon x&= 2+3t, \\ y&= 8+4t, \\ z&= -7-2t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Nápověda: viz obrázek.
\(B'=[-12;8;1]\)
\(B'=[-4;0;-3]\)
\(B'=[-4;-8;-13]\)
\(B'=[-4;8;7]\)

2010008707

Část: 
C
V krychli \(ABCDEFGH\) s délkou hrany \(2\), která je umístěna v souřadnicové soustavě, leží pravidelný čtyřstěn \(BDEG\) (viz obrázek). Určete odchylku jeho stěn (zaokrouhlete na minuty).
\(70^{\circ}32'\)
\(45^{\circ}0'\)
\(51^{\circ}4'\)
\(54^{\circ}44'\)

2010008706

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 4 \) je umístěna v souřadnicové soustavě (viz obrázek). Určete ochylku \( \psi \) roviny \( \rho \), která prochází body \( B \), \( D \) a \( H \) a přímky \( CF \). Nápověda: Odchylka přímky od roviny je odchylka přímky od jejího kolmého průmětu do této roviny.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)

2010008705

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 4 \) je umístěna v souřadnicové soustavě (viz obrázek). Určete vzdálenost rovnoběžných přímek \( p=PQ\) a \( r=RS \), kde body \( P \), \( Q \), \( R\) a \( S \) jsou po řadě středy hran \(BF\), \(BC\), \(EH\) a \(DH\).
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008704

Část: 
C
Krychle \( ABCDEFGH \) s délkou hrany \( 3 \) je umístěna v souřadnicové soustavě (viz obrázek). Určete vzdálenost rovnoběžných rovin \( \rho \) a \( \sigma \), kde \( \rho \) je určena body \( D \), \( E \), \( G \) a \( \sigma \) prochází body \( A \), \( C \), \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008703

Část: 
C
Přímka \( q \) je určena body \( K=[6;6;7] \) a \( L=[4;0;2] \) (viz obrázek). Najdi parametrické vyjádření přímky \( q' \), která jsou souměrná s přímkou \( q \) v rovinné souměrnosti podle souřadnicové roviny \( xz \).
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008702

Část: 
B
Je dán bod \( P=[3;-4;-5] \) a roviny \( \alpha \): \( 2x-y-3z-5=0 \) a \( \beta \): \( 3x-2y-4z+3=0 \). Určete obecnou rovnici roviny \( \sigma \), která prochází bodem \( P \) a je kolmá k oběma rovinám \(\alpha\) i \(\beta\) (viz obrázek).
\( \sigma\colon 2x+y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y-z+15=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y+z-5=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-z-7=0 \)

2010008701

Část: 
B
Jsou dány body \(K = [ 1; −2; 1]\), \(L = [2; 0; −3]\) a rovina \(\rho\): \(x-2z+3=0\). Určete obecnou rovnici roviny \(\sigma\), ve které leží přímka \(KL\) a která je kolmá k rovině \(\rho\) (viz obrázek).
\( \sigma\colon 2x+y+z-1=0 \)
\( \sigma\colon 2x+3y+2z+2=0 \)
\( \sigma\colon 2y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-4=0 \)