Analytická geometrie v prostoru

2010005006

Část: 
B
Určete odchylku přímky \(q\) a roviny \(\sigma \). \[ \sigma \colon 2x-z+4 = 0;\qquad \qquad \begin{aligned}[t] q\colon x& = 5r, & \\y & = -3+2r, \\z & = -2;\ r\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Zaokrouhlete na minuty.
\(56^{\circ }09'\)
\(56^{\circ }08'\)
\(33^{\circ }51'\)
\(33^{\circ }52'\)

2010005005

Část: 
B
Jsou dány body \(C = [-2;3;-1]\), \(D= [1;2;-3]\). Určete odchylku přímek \(CD\) a \(p\). \[ \begin{aligned}p\colon x& = 2 -s, & \\y & = 3, \\z & = 2s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Výsledek zaokrouhlete na minuty.
\(33^{\circ }13'\)
\(56^{\circ }47'\)
\(90^{\circ }\)
\(146^{\circ }47'\)

2010005004

Část: 
B
Určete vzdálenost dvou rovnoběžných rovin \(\rho \) a \(\sigma \). \[ \begin{aligned} \rho& \colon 2x - 0{,}5y - 4z - 4 = 0,\\ \sigma &\colon 4x - y - 8z -2 = 0 \end{aligned}\]
\(\frac{2} {3}\)
\(\frac{11} {9}\)
\(\frac{10} {9}\)
\(\frac{4} {3}\)

2010005003

Část: 
A
Určete všechny reálné hodnoty parametru \(p\) tak, aby byly přímky \(a\) a \(b\) mimoběžné. \[ \begin{aligned}a\colon x& =- 1 + 2m, & \\y & = 1 - pm, \\z & = 2 - m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}b\colon x& = 3+2n, & \\y & = 1-n, \\z & = 5+4n;\ n\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
\(p = -1\)
Přímky nejsou mimoběžné pro žádné reálné \(p\).
Přímky jsou mimoběžné pro všechna reálná \(p\).

2010005002

Část: 
A
Určete průsečík přímky \(KL\) a přímky \(q\), kde \(K = [1;3;5]\), \(L = [3;-2;4]\) a \[ \begin{aligned}q\colon x& = 1 + r, & \\y & = 5 - 2r, \\z & = 3 - r;\ r\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \]
\([-3;13;7]\)
\([5;-7;3]\)
\([5;-3;-1]\)
Průsečík neexistuje.

2010005001

Část: 
A
Určete vzájemnou polohu přímek $a$ a $b$, kde \[\begin{aligned} a\colon x & = 3 -2m, & & \\y & = 4 - 3m, & & \\z & = 4+m;\ m\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} b\colon x & = - n, & & \\y & = -5, & & \\z & = 4-3n;\ n\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]
Přímky jsou mimoběžné.
Přímky jsou totožné.
Přímky jsou různoběžné.
Přímky jsou rovnoběžné různé.

1003233607

Část: 
C
Určete vzájemnou polohu tří rovin: \begin{align*} \alpha\colon\ &2x+y+9z-18=0, \\ \beta\colon\ &x+3y+2z+16=0, \\ \gamma\colon\ &x+2y+3z+6=0. \end{align*}
Roviny $\alpha$, $\beta$ a $\gamma$ se protínají v přímce.
Každá dvojice rovin se protíná v přímce. Tyto tři průsečnice jsou navzájem různé rovnoběžky.
Všechny tři roviny se protínají v právě jednom bodě.

1003233605

Část: 
C
Jsou dány přímky $p$ a $q$. \begin{align*} p\colon x&= 1-t, & q\colon x&= 1-2s, \\ y&= 1+t, & y&=s, \\ z&= 3+2t;\ t\in\mathbb{R}, & z&= 3+3s;\ s\in\mathbb{R}. \end{align*} Určete parametrické rovnice přímky $r$, která obě přímky $p$ a $q$ protíná a leží přitom v rovině $x+2y-z+2=0$.
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+2m, \\ y&=3-3m, \\ z&=7-4m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3+3m, \\ z&=7-m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+3m, \\ y&=3+2m, \\ z&=7+5m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3-m, \\ z&=7+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$