Kombinatorika

9000141508

Časť: 
B
Nech \(x\in \mathbb{N}\). Určte množinu všetkých riešení danej rovnice. \[ \left({x\above 0.0pt x}\right) +\left ({x + 1\above 0.0pt x} \right) +\left ({x + 2\above 0.0pt x} \right) +\left ({x + 3\above 0.0pt x} \right) = \frac{x^{3} + 59} {6} \]
\(\{1\}\)
\(\{4\}\)
\(\{10\}\)

9000139305

Časť: 
A
V hoteli je päť izieb s tromi lôžkami a jedna izba s piatimi lôžkami. Skupina \(20\) ľudí sa chce ubytovať v tomto hoteli. Koľkými spôsobmi je možné vybrať päť ľudí, ktorí budú ubytovaní v izbe s piatimi lôžkami?
\(\frac{20!} {5!\; 15!}=15\:504\)
\(20\cdot 3\cdot 5=300\)
\(\frac{20!} {3!\; 5!}=3\:379\:030\:566\:912\:000\)
\(20^{5}=3\:200\:000\)

9000139702

Časť: 
A
Pretekov sa zúčastnilo \(12\) pretekárov. Určte, koľkými spôsobmi sa môžu pretekári umiestniť na prvých troch miestach na výsledkovej tabuli.
\(\frac{12!} {9!}=1\:320 \)
\(3^{12}=531\:441\)
\(\frac{12!} {9!\, 3!}=220\)
\(12!\, 3!=2\:874\:009\:600\)

9000139707

Časť: 
A
Morseova abeceda používa znaky, ktoré sú vytvorené pomocou bodiek a čiarok. Určte, koľko je v nej jednomiestnych až štvormiestnych znakov.
\(2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}=30\)
\(1 + 2 + 3! + 4!=33\)
\(\frac{4!} {3!\, 2!}=2\)
\(2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4=20\)

9000139708

Časť: 
A
Na polici je \(15\) kníh, z toho je \(9\) rôznych kníh v slovenčine a \(6\) rôznych kníh cudzojazyčných. Určte, koľkými spôsobmi môžeme knihy usporiadať tak, aby za sebou boli zoradené najprv slovenské a za nimi cudzojazyčné knihy.
\(9!\, 6!=261\:273\:600\)
\(9^{6}=531\:441\)
\(\frac{9!} {6!}=504\)
\(\frac{9!} {6!\, 3!}=84\)