Kombinatoryka

Dla \(x\in \mathbb{N}\), wyznacz zbiór rozwiązań podanego równania. \[ \left({x\above 0.0pt x}\right) +\left ({x + 1\above 0.0pt x} \right) +\left ({x + 2\above 0.0pt x} \right) +\left ({x + 3\above 0.0pt x} \right) = \frac{x^{3} + 59} {6} \]

\(A\) to zbiór różnych elementów \(n\). Liczba \(5\) elementówych wariacji z powtórzeniami \(A\) \(n\)-elementówego wynosi wynosi \(1024\). Wyznacz \(n\).

Na półce znajduje się \(15\) książek, z czego \(9\) książek jest w języku angielskim, \(6\) w innych językach. Ile jest możliwości ułożenia książek, jeżeli wszystkie książki w języku angielskim muszą być ustawione po lewej stronie, a pozostałe po prawej?

W portfelu jest dziewięć monet: trzy monety o nominale \(1\)-Euro, trzy \(2\)-Euro i trzy \(5\)-Euro. Ile jest możliwości dokonania zapłaty, jeżeli musimy wydać wyliczoną kwotę oraz użyć tylko trzech monet.