Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales

1003034506

Parte: 
B
Juan es capaz de segar un prado en \( 12 \) horas. Jorge tiene un cortacespéd mejor y el mismo prado lo segaría en \( 8 \) horas. Han acordado que Juan va a empezar a segar solo y que Jorge se unirá a él más tarde para que el tiempo total de siega sea \( 9 \) horas. ¿Cuánto tiempo cortarán juntos?
\( 2 \) horas
\( 7 \) horas
\( 6 \) horas
\( 3 \) horas

1003060501

Parte: 
B
¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones no tiene solución?
\(\begin{aligned} 2x-y+3z&=2 \\ 6x-3y+9z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} 2x-y+3z&=2 \\ 6x-3y+9z&=6 \\ x+y+z&=1 \\ \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} 2x-y+3z&=2 \\ 6x-2y+z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned} \)
\(\begin{aligned} 2x-y+3z&=2 \\ 6x-3y+9z&=6 \\ 4x-4y+6z&=4 \end{aligned} \)

1003060502

Parte: 
B
Dado el sistema: \[ \begin{aligned} x+y-2z&=0, \\ x+2y+3z&=0, \\ -2x+y+z&=2. \end{aligned} \] ¿A cuál de los siguientes sistemas es equivalente? (Nota: un algoritmo que sirve para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la transformación del sistema en esta forma se conoce como el método de reducción de Gauss.)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=-2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y-5z&=0 \\ 12z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+z&=0 \\ 6z&=2 \end{aligned} \)

1003060503

Parte: 
B
Dado el sistema: \[ \begin{aligned} x-y-z&=0, \\ 2x-y+3z&=1, \\ -3x+2y+z&=2. \end{aligned} \] ¿A cuál de los siguientes sistemas es equivalente? (Nota: un algoritmo que sirve para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la transformación del sistema en esta forma se conoce como el método de reducción de Gauss).
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=1 \\ 3z&=3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=-1 \\ 3z&=-1 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=5 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=-7 \end{aligned} \)

1003060504

Parte: 
B
Dados cuatro sistemas de ecuaciones. ¿Cuántos de los sistemas dados tienen infinitas soluciones? \[ \begin{array}{c|c} \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8 \\ -2x+3y-5z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ 6x-9y+15z&=12\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)} \\\hline \text{\(\begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ -2x+3y+5z&=4\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} x+y+z&=1 \\ 2x+2y+2z&=2 \\ -\frac x2-\frac y2-\frac z2&=-\frac12 \end{aligned}\)} \end{array} \]
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 3 \)
\( 4 \)

1103034507

Parte: 
B
Considera una balanza compuesta por una viga con brazos de longitud desigual donde el punto de apoyo está muy cerca de un extremo de la viga. La carga se cuelga en el brazo más corto, mientras tanto el equilibrio sobre el punto de apoyo se obtiene deslizando el contrapeso a lo largo del brazo más largo. (Mira la imagen.) Supongamos que la distancia del punto de suspensión de la carga desde el punto de apoyo se fija en \( 5\,\mathrm{cm} \). Si el peso de la carga es \( 80\,\mathrm{N} \), el equilibrio se logra a medida que el contrapeso se mueve hasta el final del brazo más largo. Si el peso de la carga es \( 60\,\mathrm{N} \), el equilibrio se logra cuando el contrapeso se mueve a una distancia de \( 30\,\mathrm{cm} \) desde el punto de apoyo. ¿Cuál es la longitud de la viga? \[ \] Sugerencia: La romana se basa en la ley de la palanca. Para la palanca equilibrada vale: \( F_1\cdot a=F_2\cdot b \), donde \( F_1 \) es el peso de la carga a una distancia \( a \) desde el punto de apoyo y \( F_2 \) es el peso del contrapeso a una distancia \( b \) desde el punto de apoyo.
\( 45\,\mathrm{cm} \)
\( 54\,\mathrm{cm} \)
\( 40\,\mathrm{cm} \)
\( 35\,\mathrm{cm} \)

2000019001

Parte: 
B
Dadas las siguientes matrices: \[\] $\left (\array{ 1& -1& 0\cr 2& 0& 1\cr 1& 1& -1} \right ),$ $\left (\array{ 1& -3& 0\cr 2& -5& 1\cr 1& 0& -1} \right ),$ $\left (\array{ -3& -1& 0\cr -5& 0& 1\cr 0& 1& -1} \right ),$ $\left (\array{ 1& -1& -3\cr 2& 0& -5\cr 1& 1& 0} \right )$ \[\] Practicando la regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales, ¿cuál de los siguientes sistemas se puede resolver utilizando determinantes de las cuatro matrices dadas?
\[\begin{aligned} x- y = -3 & & \\2x + z = -5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} x- y-3z = 0 & & \\2x - 5z = 1 & & \\x + y = -1& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} -3x- y = 0 & & \\-5x + z = 1 & & \\ y -z= -1& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} x- y = 3 & & \\2x + z = 5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\]

2000019002

Parte: 
B
Dado el sistema de ecuaciones: \[\begin{aligned} x- y = -3 & & \\2x + z = -5 & & \\x + y -z= 0 & & \end{aligned}\] Al resolver el sistema usando la regla de Cramer, evaluamos determinantes de cuatro matrices. Supongamos que los ordenaremos según sus valores. ¿Cuál es el mayor valor de estos determinantes?
\(8\)
\(4\)
\(-4\)
\(12\)

2000019003

Parte: 
B
Dado el sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas \(x\), \(y\), \(z\), y con la columna de los lados derechos: \[ \left (\array{ 5\cr 17\cr 12} \right ) \] Los determinantes de las dos siguientes matrices se utilizaron para resolver el sistema mediante la regla de Cramer: \[ \left (\array{ 2& 5& 1\cr 1& 17& -3\cr 1& 12& -2} \right ),~ \left (\array{ 2& -1& 5\cr 1& 2& 17\cr 1& 1& 12} \right ) \] ¿Cuál de los siguientes sistemas se podría resolver de una manera específica?
\[\begin{aligned} 2x- y +z= 5 & & \\x +2y-3 z = 17 & & \\x + y -2z= 12 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x+5 y +z= -1 & & \\x +17y-3 z = 2& & \\x +12 y -2z= 1 & & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x- y +z= -5 & & \\x +2y-3 z = -17 & & \\ x+y -2z= -12& & \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} 2x+ y-z = 5 & & \\x-2y + 3z = 17 & & \\x - y +2z= 12 & & \end{aligned}\]