Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

2010013301

Část: 
B
Určete množinu všech komplexních kořenů dané kvadratické rovnice. \[ x^2 - 2x + 2 = 0 \]
\( \left\{ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}4\right); \sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{7\pi}4\right) \right\} \)
\( \left\{ 2\left(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}4\right); 2\left(\cos\frac{7\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{7\pi}4\right) \right\} \)
\( \left\{ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}4\right); \sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{3\pi}4\right) \right\} \)
\( \left\{ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{\pi}4\right); \sqrt2\left(\cos\frac{5\pi}4+\mathrm{i}\cdot\sin\frac{5\pi}4\right) \right\} \)

2010013208

Část: 
C
Která z daných kvadratických rovnic má kořeny \( x_1 = -1 - 3\mathrm{i} \) a \( x_2 = 1 +3\mathrm{i} \)?
\( x^2 + (3 - 3\mathrm{i}) + 5 - 3\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (3 - 3\mathrm{i}) + 5 + 3\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 + (3 - 3\mathrm{i}) + 5 + 3\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (3 - 3\mathrm{i}) + 5 - 3\mathrm{i} = 0 \)

2010013207

Část: 
C
Určete komplexní kořeny dané kvadratické rovnice. \[ 2x^2 + 5\mathrm{i} = 0 \]
\( x_1=-\frac{\sqrt5}2+\frac{\sqrt5}2\mathrm{i},\ \ x_2=\frac{\sqrt5}2-\frac{\sqrt5}2\mathrm{i} \)
\( x_1=\frac{\sqrt5}2+\frac{\sqrt5}2\mathrm{i},\ \ x_2=-\frac{\sqrt5}2-\frac{\sqrt5}2\mathrm{i} \)
\( x_1=\frac{\sqrt5}2\mathrm{i},\ \ x_2=-\frac{\sqrt5}2\mathrm{i} \)
\( x_1=-\frac{\sqrt5}2,\ \ x_2=\frac{\sqrt5}2\)

2010013206

Část: 
C
Určete komplexní kořeny dané kvadratické rovnice. \[ 3\mathrm{i}x^2 + 2 = 0 \]
\( x_1=\frac{\sqrt3}3+\frac{\sqrt3}3\mathrm{i},\ \ x_2=-\frac{\sqrt3}3-\frac{\sqrt3}3\mathrm{i} \)
\( x_1=-\frac{\sqrt3}3+\frac{\sqrt3}3\mathrm{i},\ \ x_2=\frac{\sqrt3}3-\frac{\sqrt3}3\mathrm{i} \)
\( x_1=-\frac{\sqrt3}6+\frac{\sqrt3}6\mathrm{i},\ \ x_2=-\frac{\sqrt3}6-\frac{\sqrt3}6\mathrm{i} \)
\( x_1=\frac{\sqrt3}6+\frac{\sqrt3}6\mathrm{i},\ \ x_2=-\frac{\sqrt3}6-\frac{\sqrt3}6\mathrm{i} \)

2010013205

Část: 
C
Určete komplexní kořeny dané kvadratické rovnice. \[ (2-\mathrm{i})x^2-(3-2\mathrm{i})x = 0 \]
\( x_1=\frac85-\frac15\mathrm{i},\ \ x_2=0 \)
\( x_1=\frac85+\frac15\mathrm{i},\ \ x_2=0 \)
\( x_1=-\frac85-\frac15\mathrm{i},\ \ x_2=0 \)
\( x_1=-\frac85+\frac15\mathrm{i},\ \ x_2=0 \)

2010013202

Část: 
C
Jeden z kořenů rovnice \( x^{2} + px - 8 = 0\) s parametrem \(p\in \mathbb{C}\) je \(x_{1} = \sqrt{7} +\mathrm{i}\). Určete druhý kořen \(x_{2}\) a odpovídající hodnotu parametru \(p\).
\(x_{2} = \mathrm{i}-\sqrt{7},\ p = -2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -\mathrm{i}-\sqrt{7},\ p = 2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -\mathrm{i}+\sqrt{7},\ p = 2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -\mathrm{i}-\sqrt{7},\ p = 4\mathrm{i}\)