Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

2010013311

Část: 
B
Najděte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jedno řešení je komplexní číslo \(x_1=2\left(\cos\frac{11\pi}{6} + \mathrm{i}\sin \frac{11\pi}{6}\right)\).
\(x^2-2\sqrt{3}x+4=0\)
\(x^2+2\sqrt{3}x+4=0\)
\(x^2+4x+2\sqrt{3}=0\)
\(x^2-2x+4=0\)

2010013310

Část: 
B
Najděte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jedno řešení je komplexní číslo \(x_1=2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + \mathrm{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right)\).
\(x^2+2x+4=0\)
\(x^2-2x+4=0\)
\(x^2+4x+2=0\)
\(x^2+2\sqrt{3}x+4=0\)

2010013309

Část: 
C
Určete komplexní kořeny dané kvadratické rovnice. \[ x^2 - (2 + 2\mathrm{i})x + 2\mathrm{i} = 0 \]
\( x_{1,2}=1+\mathrm{i} \)
\( x_1=1+\mathrm{i},\ \ x_2=1-\mathrm{i} \)
\( x_{1,2}=-1-\mathrm{i} \)
\( x_1=1+\mathrm{i},\ \ x_2=-1-\mathrm{i} \)

2010013308

Část: 
C
Určete množinu všech komplexních kořenů dané kvadratické rovnice. \[ 2x^2-(2-4\mathrm{i})x + 3 - 2\mathrm{i}= 0 \]
\( \left\{ \frac12+\frac12\mathrm{i}; \frac12-\frac52\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{ \frac12+\frac12\mathrm{i}; \frac12-\frac12\mathrm{i} \right\} \)
\( \emptyset \)
\( \left\{ -\frac12-\frac12\mathrm{i}; -\frac12+\frac52\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{ 1+\mathrm{i}; 1-5\mathrm{i} \right\} \)

2010013307

Část: 
B
Vyberte hodnoty reálných koeficientů \(a\), \(b\) a \(c\) tak, aby kvadratická rovnice \[ ax^{2} + bx + c = 0 \] měla kořeny \(x_{1, 2} = \frac12\pm \mathrm{i}\).
\(a = 4,\ b = -4,\ c = 5\)
\(a = 4,\ b = 4,\ c = 5\)
\(a = 5,\ b = -5,\ c = 4\)
\(a = -4,\ b = 4,\ c = 5\)

2010013306

Část: 
B
Určete množinu všech hodnot parametru \(p\in \mathbb{R}\), pro které má daná kvadratická rovnice řešení s nenulovou imaginární částí. \[ 9px^{2} + 5x + p = 0 \]
\(\left (-\infty ;-\frac{5} {6}\right )\cup \left (\frac{5} {6};\infty \right )\)
\(\left (-\frac{5} {6}; \frac{5} {6}\right )\)
\(\left (\frac{5} {6};\infty \right )\)
\(\left \{-\frac{5} {6}; \frac{5} {6}\right \}\)
\(\mathbb{R}\setminus \left \{-\frac{5} {6}; \frac{5} {6}\right \}\)

2010013305

Část: 
B
Číslo \(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi} {4}\right) \) je jedním z řešení kvadratické rovnice s reálnými koeficienty. Určete druhé řešení.
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{5\pi} {4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi} {4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{7\pi} {4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi} {4}\right) \)

2010013304

Část: 
B
Určete množinu všech hodnot parametru \(p\in \mathbb{R}\), pro které má rovnice \[ x^{2} - 2px + 4 = 0 \] komplexní kořeny s nenulovou imaginární částí.
\(p\in (-2;2)\)
\(p\in (-\infty ;-2)\)
\(p\in (2;\infty )\)
\(p\in \emptyset\)