Równania kwadratowe z pierwiastkami zespolonymi

2010013311

Część: 
B
Znajdź równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych takie, aby jednym z rozwiązań była liczba zespolona \(x_1=2\left(\cos\frac{11\pi}{6} + \mathrm{i}\sin \frac{11\pi}{6}\right)\).
\(x^2-2\sqrt{3}x+4=0\)
\(x^2+2\sqrt{3}x+4=0\)
\(x^2+4x+2\sqrt{3}=0\)
\(x^2-2x+4=0\)

2010013308

Część: 
C
Znajdź zbiór rozwiązań następującego równania kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej. \[ 2x^2-(2-4\mathrm{i})x + 3 - 2\mathrm{i}= 0 \]
\( \left\{ \frac12+\frac12\mathrm{i}; \frac12-\frac52\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{ \frac12+\frac12\mathrm{i}; \frac12-\frac12\mathrm{i} \right\} \)
\( \emptyset \)
\( \left\{ -\frac12-\frac12\mathrm{i}; -\frac12+\frac52\mathrm{i} \right\} \)
\( \left\{ 1+\mathrm{i}; 1-5\mathrm{i} \right\} \)

2010013307

Część: 
B
Znajdź warość rzeczywistych współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\) tak, aby równanie kwadratowe \[ ax^{2} + bx + c = 0 \] miało rozwiązania \(x_{1, 2} = \frac12\pm \mathrm{i}\).
\(a = 4,\ b = -4,\ c = 5\)
\(a = 4,\ b = 4,\ c = 5\)
\(a = 5,\ b = -5,\ c = 4\)
\(a = -4,\ b = 4,\ c = 5\)

2010013306

Część: 
B
Znajdź zbiór wszystkich wartości parametru \(p\in \mathbb{R}\), dla których następujące równanie ma rozwiązanie z niezerową częścią urojoną. \[ 9px^{2} + 5x + p = 0 \]
\(\left (-\infty ;-\frac{5} {6}\right )\cup \left (\frac{5} {6};\infty \right )\)
\(\left (-\frac{5} {6}; \frac{5} {6}\right )\)
\(\left (\frac{5} {6};\infty \right )\)
\(\left \{-\frac{5} {6}; \frac{5} {6}\right \}\)
\(\mathbb{R}\setminus \left \{-\frac{5} {6}; \frac{5} {6}\right \}\)

2010013305

Część: 
B
Liczba\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi} {4}\right) \) jest rozwiązaniem równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych. Znajdź drugie rozwiązanie.
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{5\pi} {4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi} {4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{7\pi} {4}\right) \)
\(\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi} {4} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi} {4}\right) \)