Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

1003102501

Část: 
A
Určete množinu komplexních kořenů dané rovnice. \[ 9x^2 + 2 = 0 \]
\( \left\{-\frac{\sqrt2}3\mathrm{i}; \frac{\sqrt2}3\mathrm{i}\right\} \)
\( \left\{-\sqrt{\frac{2}3}\mathrm{i}; \sqrt{\frac23}\mathrm{i}\right\} \)
\( \left\{-\frac23\mathrm{i}; \frac23\mathrm{i}\right\} \)
\( \left\{-\frac29\mathrm{i}; \frac29\mathrm{i}\right\} \)
\( \emptyset \)

1003109404

Část: 
C
Kvadratická rovnice \( x^2 + px + 1 - 3\,\mathrm{i} = 0 \) s komplexním parametrem \( p \) má jeden kořen \( x_1 = -\mathrm{i} \). Rovnici můžeme upravit do tvaru:
\( (x + \mathrm{i})(x -3 - \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x + \mathrm{i})(x - 3 +\mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x- 3-\mathrm{i}) = 0 \)
\( (x +\mathrm{i})(x + 3 + \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x- 3 + \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x + 3 +\mathrm{i}) = 0 \)

1003109403

Část: 
C
Jedna z následujících rovnic má kořeny \( x_1=\frac12-\mathrm{i} \), \( x_2=-\frac12+2\,\mathrm{i} \). Najděte tuto rovnici.
\( 4x^2-4\,\mathrm{i}\,x+7+6\,\mathrm{i}=0 \)
\( 4x^2-4\,\mathrm{i}\,x-9+3\,\mathrm{i}=0 \)
\( 4x^2+4\,\mathrm{i}\,x+7+6\,\mathrm{i}\,=0 \)
\( 4x^2+4\,\mathrm{i}\,x-9+3\,\mathrm{i}=0 \)

1003109402

Část: 
C
Vyberte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou \( x_1 = 1 +\mathrm{i} \) a \( x_2 = (1 +\mathrm{i})^2 \).
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x - 2 + 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x - 2 - 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x + 2 + 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x + 2 - 2\,\mathrm{i} = 0 \)

1003109401

Část: 
C
Vyberte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou \( x_1 = 2 + \mathrm{i} \) a \( x_2 = 1 - 3\,\mathrm{i} \).
\( x^2 - (3 - 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\(x^2 + (3 - 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (3 + 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 + (3 + 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)

9000069901

Část: 
A
Kvadratická rovnice \(x^{2} + 4x + 5 = 0\) řešená v množině komplexních čísel má kořeny:
\(x_{1} = -2 + \mathrm{i}\), \( x_{2} = -2 -\mathrm{i}\)
\(x = -2\)
\(x_{1} = 2 + \mathrm{i}\), \( x_{2} = 2 -\mathrm{i}\)
\(x_{1} = -3\), \( x_{2} = -1\)

9000069902

Část: 
A
Kvadratická rovnice \(3x^{2} + 2x + 2 = 0\) řešená v množině komplexních čísel má kořeny:
\(x_{1} = -\frac{1} {3} + \frac{\sqrt{5}} {3} \mathrm{i}\), \( x_{2} = -\frac{1} {3} -\frac{\sqrt{5}} {3} \mathrm{i}\)
\(x_{1} = -\frac{1} {3}\)
\(x_{1} = \frac{1} {3} + \frac{\sqrt{5}} {3} \), \( x_{2} = \frac{1} {3} + \frac{\sqrt{5}} {3} \)
\(x_{1} = \frac{1} {3} + \frac{\sqrt{5}} {3} \mathrm{i}\), \(x_{2} = \frac{1} {3} -\frac{\sqrt{5}} {3} \mathrm{i}\)

9000069903

Část: 
A
Kvadratický trojčlen \(x^{2} + 2x + 2\) můžeme v množině \(\mathbb{C}\) rozložit na součin kořenových činitelů:
\((x + 1 + \mathrm{i})(x + 1 -\mathrm{i})\)
\((x - 1 + \mathrm{i})(x - 1 -\mathrm{i})\)
\((x -\mathrm{i})(x + \mathrm{i})\)
\((x - 1 + \mathrm{i})(x + 1 -\mathrm{i})\)

9000069904

Část: 
A
Kvadratický trojčlen \(x^{2} + 2x + 5\) můžeme v množině \(\mathbb{C}\) rozložit na součin kořenových činitelů:
\((x + 1 - 2\mathrm{i})(x + 1 + 2\mathrm{i})\)
\((x - 1 - 2\mathrm{i})(x - 1 + 2\mathrm{i})\)
\((x + 1 - 2\mathrm{i})(x - 1 + 2\mathrm{i})\)
\((x - 1 - 2\mathrm{i})(x + 1 + 2\mathrm{i})\)