Kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel

9000035608

Část: 
C
Rovnice \(x^{2} - 2\mathrm{i}x + q = 0\) má jeden kořen \(x_{1} = 1 + 2\mathrm{i}\). Najděte druhý kořen \(x_{2}\) a koeficient \(q\in \mathbb{C}\).
\(x_{2} = -1,\ q = -1 - 2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -1 - 4\mathrm{i},\ q = 9 - 6\mathrm{i}\)
\(x_{2} = 1 - 4\mathrm{i},\ q = 7 - 4\mathrm{i}\)
\(x_{2} = 1,\ q = -1 - 2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -1,\ q = 1 + 2\mathrm{i}\)

9000035605

Část: 
B
Číslo \(\cos \frac{7} {6}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7} {6}\pi \) je kořenem jisté kvadratické rovnice s reálnými koeficienty. Druhý kořen této rovnice je:
\(\cos \frac{5} {6}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5} {6}\pi \)
\(\cos \frac{1} {6}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{1} {6}\pi \)
\(\cos \frac{7} {6}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7} {6}\pi \)
\(\cos \frac{11} {6} \pi + \mathrm{i}\sin \frac{11} {6} \pi \)

9000035609

Část: 
C
Rovnice \(x^{2} + px - 11 = 0\) má jeden kořen \(x_{1} = 3 -\mathrm{i}\sqrt{2}\). Najděte druhý kořen \(x_{2}\) a koeficient \(p\in \mathbb{C}\).
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 2\mathrm{i}\sqrt{2}\)
\(x_{2} = 3 + \mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 6\)
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 6\)
\(x_{2} = 3 + \mathrm{i}\sqrt{2},\ p = -2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = -2\mathrm{i}\sqrt{2}\)

9000022803

Část: 
B
Množina všech takových parametrů \(t\), pro než má rovnice \(x^{2} + tx + t + 8 = 0\) s neznámou \(x\) imaginární kořeny (tj. komplexní kořeny s nenulovou imaginární částí), je:
\(\left (-4;8\right )\)
\(\left \langle -4;8\right \rangle \)
\(\left (-\infty ;-4\right )\cup \left (8;\infty \right )\)
\(\left (-\infty ;-4\right \rangle \cup \left \langle 8;\infty \right )\)

9000019808

Část: 
B
Určete množinu všech řešení rovnice \(x\left (x + 1\right )\left (x^{2} + 1\right ) = 0\) v oboru komplexních čísel.
\(\left \{-1;0;-\mathrm{i};\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-1;0;1;-\mathrm{i};\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-1;1;-\mathrm{i};\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-1;0;-\mathrm{i}\right \}\)