Body a vektory

1003030604

Část: 
B
Jsou dány vektory \( \overrightarrow{a}=(2;- 3) \) a \( \overrightarrow{b}=(3;-2) \). Najděte všechny takové vektory \( \overrightarrow{c} \), pro které platí \[ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=8\ \text{ a }\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=27. \]
\( \overrightarrow{c}=(13;6) \)
\( \overrightarrow{c_1}=(13;6);\ \overrightarrow{c_2}=(-13;-6) \)
\( \overrightarrow{c}=(13k;6k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}=(-13;-6) \)

1003030605

Část: 
B
Jsou dány vektory \( \overrightarrow{a}=(3;-5) \) a \( \overrightarrow{b}=(6;-10) \). Najděte všechny vektory \( \overrightarrow{c} \), pro které platí \[ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=11\ \text{ a }\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=22\text{ .} \]
\( \overrightarrow{c}=(2+5k;-1+3k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}_1=(7;2);\ \overrightarrow{c}_2=(-7;-2) \)
\( \overrightarrow{c}=(2k;-k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}_1=(2;-1);\ \overrightarrow{c}_2=(-2;1) \)

1003040210

Část: 
B
Jsou dány body $A = [3;3;0]$ a $B = [0;3;3]$. Určete souřadnice všech bodů $C$ ležících na ose $y$, pro které platí $|\measuredangle ABC|=\frac{\pi}3$.
$C_1=[0;0;0];\ C_2=[0;6;0]$
$C_1=[0;3;0];\ C_2=[0;9;0]$
$C_1=[0;-3;0];\ C_2=[0;3;0]$
$C_1=[0;-6;0];\ C_2=[0;6;0]$

1103021001

Část: 
B
Je dán pravidelný šestiúhelník \( ABCDEF \) se středem \( S \) a délkou strany \( 3\,\mathrm{cm}\). Bod \( G \) je středem strany \( AB \). V šestiúhelníku jsou vyznačeny vektory \( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v} \), \( \overrightarrow{w} \), \( \overrightarrow{z} \). Vypočtěte skalární součiny: \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} \) a \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u} \).
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=9 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=27 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=9 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=9\sqrt6 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=\frac92 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=9\sqrt6 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=\frac92 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 1 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=27 \)

1103030501

Část: 
B
V krychli o délce hrany \( 1 \) jsou vyznačeny vektory \( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v}\), \( \overrightarrow{w} \), \( \overrightarrow{z} \). Vypočtěte skalární součiny: \[ \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}\text{ ,}\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} \text{ ,}\ \ \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u} \]
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}=1 \), \( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0 \), \( \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=1 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}=\frac{\sqrt2}2 \), \( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=1 \), \( \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=\sqrt3 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}=\sqrt2 \), \( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0 \), \( \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=1 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}=1 \), \( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=1 \), \( \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=\sqrt3 \)

1103030502

Část: 
B
V souřadném systému jsou dány vektory \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \). Určete jejich souřadnice a vypočtěte jejich skalární součin.
\( \overrightarrow{u}=(-3;6);\ \ \overrightarrow{v} =(-9;-6);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -9 \)
\( \overrightarrow{u}=(3;-6);\ \ \overrightarrow{v} =(9;6);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -9 \)
\( \overrightarrow{u}=(-3;6);\ \ \overrightarrow{v} =(-9;-6);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 9 \)
\( \overrightarrow{u}=(3;-6);\ \ \overrightarrow{v} =(9;6);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 0 \)

1103030503

Část: 
B
Vektory \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \) jsou znázorněny v souřadném systému. Určete jejich souřadnice a vypočtěte jejich skalární součin.
\( \overrightarrow{u}=(-8;-7;9);\ \ \overrightarrow{v} =(8;7;9);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -32 \)
\( \overrightarrow{u}=(-8;-7;9);\ \ \overrightarrow{v} =(8;7;9);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 0 \)
\( \overrightarrow{u}=(-8;-7;9);\ \ \overrightarrow{v} =(8;7;9);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = (-64;-49;81) \)
\( \overrightarrow{u}=(8;7;-9);\ \ \overrightarrow{v} =(-8;-7;-9);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = (-64;-49;81) \)

1103030504

Část: 
B
V souřadném systému jsou znázorněny vektory \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \). Určete kosinus jejich odchylky \(\varphi \). Nápověda: Užijte skalární součin vektorů.
\( \cos\varphi=\frac{13\sqrt{10}}{50} \)
\( \cos\varphi=\frac{970}{50} \)
\( \cos\varphi=\frac{3\sqrt{10}}{10} \)
\( \cos\varphi=\frac{\sqrt{10}}{5} \)

1103030505

Část: 
B
Vektory \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \) jsou zadány v souřadném systému. Určete kosinus jejich odchylky \( \varphi \). Nápověda: Užijte skalární součin daných vektorů.
\( \cos\varphi=-\frac9{17} \)
\( \cos\varphi=\frac9{17} \)
\( \cos\varphi=\frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{13}} \)
\( \cos\varphi=-\frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{13}} \)

1103030601

Část: 
B
V krychli \( ABCDEFGH \) určete odchylku \( \varphi \) vektorů \( \overrightarrow{b}=\overrightarrow{EB} \) a \( \overrightarrow{a}=\overrightarrow{AK} \), kde \( K \) je střed \( HG \). Zaokrouhlete hodnotu \( \varphi \) na celé stupně. Nápověda: Řešte ve vhodně zvoleném souřadném systému.
\( \varphi\doteq 104^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 76^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 100^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 80^{\circ} \)