Sústavy lineárnych rovníc a nerovníc

1103034507

Časť: 
B
Máme nerovnoramenné váhy s nerovnakou dĺžkou ramien. (Také váhy sa nazývajú minciere a využívajú sa napr. v rybárstve pre váženie vylovených rýb.) Na jednej strane vodorovnej tyče (vahadla) je zavesené teleso a niekde na druhej strane je závažie, ktoré sa posúva po dlhšom ramene páky tak dlho, až nastane rovnováha. (Pozri obrázok.) Teleso sa zavesí \( 5\,\mathrm{cm} \) od bodu opory vahadla. Ak má teleso tiaž \( 80\,\mathrm{N} \), dosiahneme rovnováhu, keď posunieme vyrovnávacie závažie až na koniec vahadla. Ak má teleso tiaž \( 60\,\mathrm{N} \), rovnováha nastane, keď závažie bude vzdialené \( 30\,\mathrm{cm} \) od oporného bodu. Aké dlhé je vahadlo? \[ \] Nápoveda: Mincier je založený na princípe páky. Pre vahadlo platí: \( F_1\cdot a=F_2\cdot b \), kde \( F_1 \) je tiaž telesa vo vzdialenosti \( a \) od oporného bodu a \( F_2 \) je tiaž závažia vo vzdialenosti \( b \) od oporného bodu.
\( 45\,\mathrm{cm} \)
\( 54\,\mathrm{cm} \)
\( 40\,\mathrm{cm} \)
\( 35\,\mathrm{cm} \)

1003034506

Časť: 
B
Kamil je schopný pokosiť lúku za \( 12 \) hodín. Zdeněk má lepšiu kosačku a tú istú lúku by sám pokosil za \( 8 \) hodín. Dohodli sa, že Kamil začne kosiť sám a Zdeněk sa pripojí k nemu neskôr tak, aby s pokosením lúky boli hotoví za \( 9 \) hodín. Ako dlho budú kosiť obidvaja spoločne?
\( 2 \) hodiny
\( 7 \) hodín
\( 6 \) hodín
\( 3 \) hodiny

1003034505

Časť: 
B
V marci stálo tričko a kraťasy celkom \( 600\,\mathrm{CZK} \). V apríli došlo k úpravám cien. Kraťasy boli zlacnené o \( 10\% \) a tričko o \( 10\% \) zdražené. Úpravou cien bol aprílový nákup trička a kraťas o \( 20\,\mathrm{CZK} \) lacnejší. Aká bola aprílová cena trička?
\( 220\,\mathrm{CZK} \)
\( 200\,\mathrm{CZK} \)
\( 180\,\mathrm{CZK} \)
\( 400\,\mathrm{CZK} \)

1003034503

Časť: 
B
Študenti sa prihlasovali na športové tábory. Na cyklistický tábor sa prihlásilo o \( 18 \) študentov viac než na vodácky tábor. Po nejakej dobe jeden študent presunul svoju prihlášku z vodáckeho tábora na cyklistický tábor. Teraz je cyklistov dvakrát viac než vodákov. Koľko študentov sa pôvodne hlásilo na vodácky tábor?
\( 21 \)
\( 39 \)
\( 20 \)
\( 15 \)

1003034502

Časť: 
C
Petr by si rád kúpil nový mobil. Ak by nastúpil na brigádu k predajcovi elektra, dostal by odmenu \( 120\,\mathrm{CZK} \) za odpracovanú hodinu a \( 20\% \) zľavu na mobil, ktorý by si v tejto predajni kúpil. Spočítal si, že za \( 24 \) odpracovaných hodín by si nezarobil ani polovicu potrebných peňazí. Iný zamestnávateľ platí \( 150\,\mathrm{CZK} \) za hodinu. Ak by Peter nastúpil na brigádu u neho, zľavu u predajcu elektra by nedostal, ale mohol by si mobil kúpiť v e-shope, v ktorom sa predáva o \( 600\,\mathrm{CZK} \) lacnejšie než u predajcu elektra. Za \( 20 \) odpracovaných hodín by si zarobil viac než tretinu peňazí potrebných ku kúpe mobilu v predajni elektra. Koľko mohol stáť mobil v predajni elektra?
viac než \( 7\,200\,\mathrm{CZK} \) a menej než \( 9\,600\,\mathrm{CZK} \)
viac než \( 7\,200\,\mathrm{CZK} \) a menej než \( 10\,800\,\mathrm{CZK} \)
viac než \( 4\,800\,\mathrm{CZK} \) a menej než \( 9\,600\,\mathrm{CZK} \)
viac než \( 4\,800\,\mathrm{CZK} \) a menej než \( 10\,800\,\mathrm{CZK} \)

1003034501

Časť: 
C
Dvaja predajcovia akvarijných rybiek ponúkajú v akcii Tetru konžskú za \( 42\,\mathrm{CZK} \) za kus. Predajca A ponúka zľavu \( 50\,\mathrm{CZK} \) pri nákupe nad \( 300\,\mathrm{CZK} \). Predajca B ponúka \( 5\% \) zľavu z akéhokoľvek nákupu. Koľko daných rybiek musíme kúpiť, ak má byť výhodnejší nákup u predajcu A?
viac než \( 7 \) a menej než \( 24 \)
menej než \( 24 \)
viac než \( 23 \)
menej než \( 7 \)

1003083004

Časť: 
B
Akú hodnotu musí mať reálny koeficient \( a \), aby nasledujúca sústava rovníc nemala riešenie? \[ \begin{aligned} \frac25x-\frac a4y&=4 \\ -\frac x4 + \frac{5y}8&=\frac52 \end{aligned}\]
\( 4 \)
\( -\frac52 \)
Také reálne číslo \( a \) neexistuje.
\( -4 \)

1003083003

Časť: 
A
Nájdite množinu všetkých riešení nasledujúcej sústavy rovníc. \[ \begin{aligned}\frac23 x-\frac12y&=1 \\ -2x+\frac32y&=-3 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[x; \frac{4x-6}3\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; y\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, } y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \emptyset \)
\( \left\{[0; -2]\right\} \)

1003083002

Časť: 
A
Z nasledujúcich množín vyberte tú, ktorá nepredstavuje množinu riešení nasledujúcej sústavy rovníc. \[ \begin{aligned} \frac12 x-y&=3 \\ \frac x3 - \frac23 y &=2 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[6+2y;\frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, }y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; \frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[6+2y;y\right]\colon y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[2t;t-3\right]\colon t\in\mathbb{R}\right\} \)