Sústavy lineárnych rovníc a nerovníc

1003034503

Časť: 
B
Študenti sa prihlasovali na športové tábory. Na cyklistický tábor sa prihlásilo o \( 18 \) študentov viac než na vodácky tábor. Po nejakej dobe jeden študent presunul svoju prihlášku z vodáckeho tábora na cyklistický tábor. Teraz je cyklistov dvakrát viac než vodákov. Koľko študentov sa pôvodne hlásilo na vodácky tábor?
\( 21 \)
\( 39 \)
\( 20 \)
\( 15 \)

1003034502

Časť: 
C
Petr by si rád kúpil nový mobil. Ak by nastúpil na brigádu k predajcovi elektra, dostal by odmenu \( 120\,\mathrm{CZK} \) za odpracovanú hodinu a \( 20\% \) zľavu na mobil, ktorý by si v tejto predajni kúpil. Spočítal si, že za \( 24 \) odpracovaných hodín by si nezarobil ani polovicu potrebných peňazí. Iný zamestnávateľ platí \( 150\,\mathrm{CZK} \) za hodinu. Ak by Peter nastúpil na brigádu u neho, zľavu u predajcu elektra by nedostal, ale mohol by si mobil kúpiť v e-shope, v ktorom sa predáva o \( 600\,\mathrm{CZK} \) lacnejšie než u predajcu elektra. Za \( 20 \) odpracovaných hodín by si zarobil viac než tretinu peňazí potrebných ku kúpe mobilu v predajni elektra. Koľko mohol stáť mobil v predajni elektra?
viac než \( 7\,200\,\mathrm{CZK} \) a menej než \( 9\,600\,\mathrm{CZK} \)
viac než \( 7\,200\,\mathrm{CZK} \) a menej než \( 10\,800\,\mathrm{CZK} \)
viac než \( 4\,800\,\mathrm{CZK} \) a menej než \( 9\,600\,\mathrm{CZK} \)
viac než \( 4\,800\,\mathrm{CZK} \) a menej než \( 10\,800\,\mathrm{CZK} \)

1003034501

Časť: 
C
Dvaja predajcovia akvarijných rybiek ponúkajú v akcii Tetru konžskú za \( 42\,\mathrm{CZK} \) za kus. Predajca A ponúka zľavu \( 50\,\mathrm{CZK} \) pri nákupe nad \( 300\,\mathrm{CZK} \). Predajca B ponúka \( 5\% \) zľavu z akéhokoľvek nákupu. Koľko daných rybiek musíme kúpiť, ak má byť výhodnejší nákup u predajcu A?
viac než \( 7 \) a menej než \( 24 \)
menej než \( 24 \)
viac než \( 23 \)
menej než \( 7 \)

1003083004

Časť: 
B
Akú hodnotu musí mať reálny koeficient \( a \), aby nasledujúca sústava rovníc nemala riešenie? \[ \begin{aligned} \frac25x-\frac a4y&=4 \\ -\frac x4 + \frac{5y}8&=\frac52 \end{aligned}\]
\( 4 \)
\( -\frac52 \)
Také reálne číslo \( a \) neexistuje.
\( -4 \)

1003083003

Časť: 
A
Nájdite množinu všetkých riešení nasledujúcej sústavy rovníc. \[ \begin{aligned}\frac23 x-\frac12y&=1 \\ -2x+\frac32y&=-3 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[x; \frac{4x-6}3\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; y\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, } y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \emptyset \)
\( \left\{[0; -2]\right\} \)

1003083002

Časť: 
A
Z nasledujúcich množín vyberte tú, ktorá nepredstavuje množinu riešení nasledujúcej sústavy rovníc. \[ \begin{aligned} \frac12 x-y&=3 \\ \frac x3 - \frac23 y &=2 \end{aligned} \]
\( \left\{\left[6+2y;\frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\text{, }y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[x; \frac{x-6}2\right]\colon x\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[6+2y;y\right]\colon y\in\mathbb{R}\right\} \)
\( \left\{\left[2t;t-3\right]\colon t\in\mathbb{R}\right\} \)

1003083001

Časť: 
A
Ktorá z nasledujúcich sústav má nekonečne veľa riešení?
\( \begin{aligned} \frac13x-4y&=2\\ -\frac{x}4+3y&=-\frac32 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ -x+12y&=6 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ \frac x4-6y&=6 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac13 x-4y&=2 \\ \frac x3-4y&=0 \end{aligned} \)

1003060504

Časť: 
B
Sú dané štyri sústavy rovníc. Koľko z uvedených sústav má nekonečne veľa riešení? \[ \begin{array}{c|c} \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8 \\ -2x+3y-5z&=4 \\ x+y+z&=1 \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ 6x-9y+15z&=12\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)} \\\hline \text{\(\begin{aligned} 4x-6y+10z&=8\\ -2x+3y+5z&=4\\ x+y+z&=1\\ \end{aligned}\)}& \text{\( \begin{aligned} x+y+z&=1 \\ 2x+2y+2z&=2 \\ -\frac x2-\frac y2-\frac z2&=-\frac12 \end{aligned}\)} \end{array} \]
\( 2 \)
\( 1 \)
\( 3 \)
\( 4 \)

1003060503

Časť: 
B
Je daná sústava rovníc: \[ \begin{aligned} x-y-z&=0, \\ 2x-y+3z&=1, \\ -3x+2y+z&=2. \end{aligned} \] Ktorá z nasledujúcich sústav je s ňou ekvivalentná? (Poznámka: Spôsob riešenia sústav lineárnych rovníc úpravou sústavy na tento tvar označujeme ako Gaussovu eliminačnú metódu.)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=1 \\ 3z&=3 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ y+5z&=-1 \\ 3z&=-1 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=5 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x-y-z&=0 \\ -3y-z&=-1 \\ 5z&=-7 \end{aligned} \)

1003060502

Časť: 
B
Je daná sústava rovníc: \[ \begin{aligned} x+y-2z&=0, \\ x+2y+3z&=0, \\ -2x+y+z&=2. \end{aligned} \] Ktorá z nasledujúcich sústav je s ňou ekvivalentná? (Poznámka: Spôsob riešenia sústav lineárnych rovníc úpravou sústavy na tento tvar označujeme ako Gaussovu eliminačnú metódu.)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=-2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y-5z&=0 \\ 12z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+5z&=0 \\ 18z&=2 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x+y-2z&=0 \\ y+z&=0 \\ 6z&=2 \end{aligned} \)