Kvadratické rovnice v obore komplex. čísel

9000035602

Časť: 
C
Nájdite hodnoty parametra \(m\in \mathbb{C}\), pre ktoré má daná kvadratická rovnica dvojnásobný koreň. \[ mx^{2} - 2x - 1 + \mathrm{i} = 0 \]
\(m = -\frac{1} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\)
\(m = -1\)
\(m = -1 + \mathrm{i}\)
\(m = -\frac{1} {2} + \frac{1} {2}\mathrm{i}\)

9000035605

Časť: 
B
Číslo \(\cos \frac{7} {6}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7} {6}\pi \) je koreňom kvadratickej rovnice s reálnymi koeficientami. Nájdite druhý koreň tejto rovnice.
\(\cos \frac{5} {6}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5} {6}\pi \)
\(\cos \frac{1} {6}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{1} {6}\pi \)
\(\cos \frac{7} {6}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{7} {6}\pi \)
\(\cos \frac{11} {6} \pi + \mathrm{i}\sin \frac{11} {6} \pi \)

9000035609

Časť: 
C
Rovnica \[ x^{2} + px - 11 = 0 \] s parametrom \(p\in \mathbb{C}\) má jeden koreň \(x_{1} = 3 -\mathrm{i}\sqrt{2}\). Nájdite druhý koreň \(x_{2}\) a parameter \(p\).
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 2\mathrm{i}\sqrt{2}\)
\(x_{2} = 3 + \mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 6\)
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = 6\)
\(x_{2} = 3 + \mathrm{i}\sqrt{2},\ p = -2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -3 -\mathrm{i}\sqrt{2},\ p = -2\mathrm{i}\sqrt{2}\)

9000022803

Časť: 
B
Množina všetkých takých parametrov \(t\), pre ktoré má rovnica \[ x^{2} + tx + t + 8 = 0 \] s neznámou \(x\) imaginárne korene (tj. komplexné korene s nenulovú imaginárny časťou), je:
\(\left (-4;8\right )\)
\(\left [ -4;8\right ] \)
\(\left (-\infty ;-4\right )\cup \left (8;\infty \right )\)
\(\left (-\infty ;-4\right ] \cup \left [ 8;\infty \right )\)

9000019808

Časť: 
B
Nájdite množinu všetkých riešení danej rovnice pre \(x\in \mathbb{C}\). \[ x\left (x + 1\right )\left (x^{2} + 1\right ) = 0 \]
\(\left \{-1;0;-\mathrm{i};\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-1;0;1;-\mathrm{i};\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-1;1;-\mathrm{i};\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-1;0;-\mathrm{i}\right \}\)