9000064507
Časť:
A
Vyriešte danú kvadratickú rovnicu v množine komplexných čísel.
\[
4x^{2} + 12 = 0
\]
\(x_{1, 2} =\pm \mathrm{i}\sqrt{3}\)
\(x_{1, 2} =\pm 3\)
\(x_{1, 2} =\pm 3\mathrm{i}\)
\(x_{1, 2} =\pm \sqrt{3}\)
Kvadratické rovnice v obore komplex. čísel
9000064508
Časť:
A
Vyriešte danú kvadratickú rovnicu v množine komplexných čísel.
\[
2x^{2} + x + 1 = 0
\]
\(x_{1, 2} = \frac{-1\pm \mathrm{i}\sqrt{7}}
{4} \)
\(x_{1, 2} = \frac{-1\pm \mathrm{i}\sqrt{7}}
{2} \)
\(x_{1, 2} = \frac{1\pm \mathrm{i}\sqrt{7}}
{4} \)
\(x_{1, 2} = \frac{1\pm \mathrm{i}\sqrt{7}}
{2} \)
9000064506
Časť:
A
Kvadratický trojčlen
\[
2x^{2} + 4x + 5
\] môžeme v množine komplexných čísel rozložiť na súčin koreňových činiteľov:
\(2\! \left (x + 1 + \frac{\sqrt{6}}
{2} \mathrm{i}\right )\! \! \left (x + 1 -\frac{\sqrt{6}}
{2} \mathrm{i}\right )\)
\(2\! \left (x - 1 + \frac{\sqrt{6}}
{2} \mathrm{i}\right )\! \! \left (x - 1 -\frac{\sqrt{6}}
{2} \mathrm{i}\right )\)
\(\left (x + 1 -\frac{\sqrt{6}}
{2} \mathrm{i}\right )\! \! \left (x + 1 + \frac{\sqrt{6}}
{2} \mathrm{i}\right )\)
\(\left (x - 1 -\frac{\sqrt{6}}
{2} \mathrm{i}\right )\! \! \left (x - 1 + \frac{\sqrt{6}}
{2} \mathrm{i}\right )\)
9000039107
Časť:
A
Súčet prevrátených hodnôt koreňov kvadratickej rovnice
\(5x^{2} - 2x + 1 = 0\) je:
\(2\)
\(\frac{2}
{5}\)
\(\frac{2}
{5} + \frac{4}
{5}\mathrm{i}\)
\(-\frac{2}
{5}\)
9000039106
Časť:
B
Nájdite hodnotu parametra \(a\), pre ktorý má kvadratická rovnica
\[
x^{2} + 2ax + a = 0
\]
imaginárne korene, tj. komplexné korene s nenulovú imaginárny časťou .
\(a\in (0;1)\)
\(a\in [ 0;1] \)
\(a\in (-\infty ;0)\cup (1;\infty )\)
Takové \(a\) neexistuje
9000039105
Časť:
B
Nájdite kvadratickú rovnicu s reálnymi koeficientmi, ktorej jeden z koreňov je komplexné
číslo \(x_{1} = 1 + 2\mathrm{i}\).
\(x^{2} - 2x + 5 = 0\)
\(x^{2} - 2x + 3 = 0\)
\(x^{2} + 2x + 5 = 0\)
\(x^{2} + 2x - 3 = 0\)
9000035603
Časť:
A
Nájdite množinu všetkých komplexných riešení danej rovnice.
\[
4x^{2} + 9 = 0 \]
\(\left \{-\frac{3}
{2}\mathrm{i}; \frac{3}
{2}\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-\frac{2}
{3}\mathrm{i}; \frac{2}
{3}\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-\frac{9}
{4}\mathrm{i}; \frac{9}
{4}\mathrm{i}\right \}\)
\(\left \{-\frac{3}
{2}; \frac{3}
{2}\right \}\)
9000035607
Časť:
C
Určte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú čísla
\(x_{1} = 2\mathrm{i}\),
\(x_{2} = -\mathrm{i}\).
\(x^{2} -\mathrm{i}x + 2 = 0\)
\(x^{2} + \mathrm{i}x + 2 = 0\)
\(x^{2} + \mathrm{i}x - 2 = 0\)
\(x^{2} -\mathrm{i}x - 2 = 0\)
9000035608
Časť:
C
Rovnica
\[
x^{2} - 2\mathrm{i}x + q = 0
\]
s parametrom \(q\in \mathbb{C}\)
má jeden koreň \(x_{1} = 1 + 2\mathrm{i}\). Nájdite druhý koreň
\(x_{2}\)
a parameter \(q\).
\(x_{2} = -1,\ q = -1 - 2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -1 - 4\mathrm{i},\ q = 9 - 6\mathrm{i}\)
\(x_{2} = 1 - 4\mathrm{i},\ q = 7 - 4\mathrm{i}\)
\(x_{2} = 1,\ q = -1 - 2\mathrm{i}\)
\(x_{2} = -1,\ q = 1 + 2\mathrm{i}\)
9000035602
Časť:
C
Nájdite hodnoty parametra \(m\in \mathbb{C}\), pre ktoré má daná kvadratická rovnica dvojnásobný koreň.
\[
mx^{2} - 2x - 1 + \mathrm{i} = 0
\]
\(m = -\frac{1}
{2} -\frac{1}
{2}\mathrm{i}\)
\(m = -1\)
\(m = -1 + \mathrm{i}\)
\(m = -\frac{1}
{2} + \frac{1}
{2}\mathrm{i}\)