Kvadratické rovnice v obore komplex. čísel

1003102501

Časť: 
A
Určte množinu komplexných koreňov danej rovnice. \[ 9x^2 + 2 = 0 \]
\( \left\{-\frac{\sqrt2}3\mathrm{i}; \frac{\sqrt2}3\mathrm{i}\right\} \)
\( \left\{-\sqrt{\frac{2}3}\mathrm{i}; \sqrt{\frac23}\mathrm{i}\right\} \)
\( \left\{-\frac23\mathrm{i}; \frac23\mathrm{i}\right\} \)
\( \left\{-\frac29\mathrm{i}; \frac29\mathrm{i}\right\} \)
\( \emptyset \)

1003109404

Časť: 
C
Kvadratická rovnica \( x^2 + px + 1 - 3\,\mathrm{i} = 0 \) s komplexným parametrom \( p \) má jeden koreň \( x_1 = -\mathrm{i} \). Rovnicu je možno upraviť do tvaru:
\( (x + \mathrm{i})(x -3 - \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x + \mathrm{i})(x - 3 +\mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x- 3-\mathrm{i}) = 0 \)
\( (x +\mathrm{i})(x + 3 + \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x- 3 + \mathrm{i}) = 0 \)
\( (x -\mathrm{i})(x + 3 +\mathrm{i}) = 0 \)

1003109403

Časť: 
C
Jedna z nasledujúcich rovníc má korene \( x_1=\frac12-\mathrm{i} \), \( x_2=-\frac12+2\,\mathrm{i} \). Nájdite tuto rovnicu.
\( 4x^2-4\,\mathrm{i}\,x+7+6\,\mathrm{i}=0 \)
\( 4x^2-4\,\mathrm{i}\,x-9+3\,\mathrm{i}=0 \)
\( 4x^2+4\,\mathrm{i}\,x+7+6\,\mathrm{i}\,=0 \)
\( 4x^2+4\,\mathrm{i}\,x-9+3\,\mathrm{i}=0 \)

1003109402

Časť: 
C
Vyberte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú \( x_1 = 1 +\mathrm{i} \) a \( x_2 = (1 +\mathrm{i})^2 \).
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x - 2 + 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x - 2 - 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x + 2 + 2\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (1 + 3\,\mathrm{i})x + 2 - 2\,\mathrm{i} = 0 \)

1003109401

Časť: 
C
Vyberte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú \( x_1 = 2 + \mathrm{i} \) a \( x_2 = 1 - 3\,\mathrm{i} \).
\( x^2 - (3 - 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\(x^2 + (3 - 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 - (3 + 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)
\( x^2 + (3 + 2\,\mathrm{i})x + 5 - 5\,\mathrm{i} = 0 \)

9000069904

Časť: 
A
Kvadratický trojčlen \[ x^{2} + 2x + 5 \] môžeme v množine komplexných čísel rozložiť na súčin koreňových činiteľov:
\((x + 1 - 2\mathrm{i})(x + 1 + 2\mathrm{i})\)
\((x - 1 - 2\mathrm{i})(x - 1 + 2\mathrm{i})\)
\((x + 1 - 2\mathrm{i})(x - 1 + 2\mathrm{i})\)
\((x - 1 - 2\mathrm{i})(x + 1 + 2\mathrm{i})\)

9000069910

Časť: 
B
Určte množinu všetkých hodnôt parametra \(p\in \mathbb{R}\), pre ktoré má rovnica \[ x^{2} + 2px + 16 = 0 \] imaginárne korene, tj. komplexné korene s nenulovou imaginárnou časťou.
\(p\in (-4;4)\)
\(p\in (-\infty ;4)\)
\(p\in (4;\infty )\)
\(p\in \emptyset\)