Geometria v priestore

1103188902

Časť: 
A
Rovinám znázorneným na obrázkoch priraďte ich všeobecné rovnice.
\( \alpha\colon y-2=0;\ \beta\colon z-2=0;\ \gamma\colon x-2=0 \)
\( \alpha\colon y+2=0;\ \beta\colon z+2=0;\ \gamma\colon x+2=0 \)
\( \alpha\colon x+z-2=0;\ \beta\colon x+y-2=0;\ \gamma\colon y+z-2=0 \)
\( \alpha\colon x-y+z-2=0;\ \beta\colon x+y-z-2=0;\ \gamma\colon -x+y+z-2=0 \)

2010005001

Časť: 
A
Určte vzájomnú polohu priamok $a$ a $b$, ak: \[\begin{aligned} a\colon x & = 3 -2m, & & \\y & = 4 - 3m, & & \\z & = 4+m;\ m\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} b\colon x & = - n, & & \\y & = -5, & & \\z & = 4-3n;\ n\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]
Dané priamky sú mimobežné.
Dané priamky sú totožné.
Dané priamky sú rôznobežné.
Dané priamky sú rovnobežné rôzne.

2010005002

Časť: 
A
Určte priesečník priamky \(KL\) a priamky \(q\), prípadne zaškrtnite, že neexistuje. \(K = [1;3;5]\), \(L = [3;-2;4]\) a \[ \begin{aligned}q\colon x& = 1 + r, & \\y & = 5 - 2r, \\z & = 3 - r;\ r\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \]
\([-3;13;7]\)
\([5;-7;3]\)
\([5;-3;-1]\)
Priesečník daných priamok neexistuje.

2010005003

Časť: 
A
Určte hodnotu reálneho parametra \(p\) tak, aby priamky \(a\) a \(b\) boli mimobežné. \[ \begin{aligned}a\colon x& =- 1 + 2m, & \\y & = 1 - pm, \\z & = 2 - m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}b\colon x& = 3+2n, & \\y & = 1-n, \\z & = 5+4n;\ n\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
\(p = -1\)
Pre žiadne reálne \(p\) nie sú dané priamky mimobežné.
Pre každé reálne \(p\) sú dané priamky mimobežné.

2010005008

Časť: 
A
Sú dané roviny \(\alpha \) a \(\beta\). Určte ich vzájomnú polohu. \[ \begin{aligned}[t] \alpha \colon &x = 1-m+2n, & \\&y =2m-n, \\&z = 2-m+n;\ m,n\in \mathbb{R}, \\ \end{aligned}\qquad \beta \colon x-y-3z+5 = 0 \]
Dané roviny sú totožné.
Dané roviny sú rôznobežné.
Dané roviny sú rovnobežné rôzne.

2010008901

Časť: 
A
Sú dané body \( K=[-3;1;5] \) a \( L=[1;-5;4] \). Zistite, ktoré z nasledujúcich parametrických vyjadrení nie je vyjadrením polpriamky \( KL \).
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+4t, \\ y&=1-6t, \\ z&=5-t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+4t, \\ y&=1-6t, \\ z&=5-t;\ t\in \langle 0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3-8t, \\ y&=1+12t, \\ z&=5+2t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+8t, \\ y&=1-12t, \\ z&=5-2t;\ t\in \langle 0;\infty) \end{aligned}$

2010008902

Časť: 
A
Sú dané body \( A=[-2;5;1] \) a \( B=[3;-1;2] \). Zistite, ktoré z nasledujúcich parametrických vyjadrení je vyjadrením polpriamky \( AB \).
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=3+5t, \\ y&=-1-6t, \\ z&=2+t;\ t\in \langle -1;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-2+5t, \\ y&=5-6t, \\ z&=1+t;\ t\in(-\infty;1\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=3-5t, \\ y&=-1+6t, \\ z&=2-t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-2-5t, \\ y&=5+6t, \\ z&=1-t;\ t\in \langle 0;\infty) \end{aligned}$

2010008903

Časť: 
A
Sú dané body \( P=[3;-4;1] \) a \( Q=[-1;3;6] \). Zistite, ktoré z nasledujúcich parametrických vyjadrení je vyjadrením polpriamky \( QP\).
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=-1-4t, \\ y&=3+7t, \\ z&=6+5t;\ t\in (-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=3-4t, \\ y&=-4+7t, \\ z&=1+5t;\ t\in\langle -1;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=3+4t, \\ y&=-4-7t, \\ z&=1-5t;\ t\in\langle 0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=-1+4t, \\ y&=3-7t, \\ z&=6-5t;\ t\in (-\infty;1\rangle \end{aligned}$

2010008904

Časť: 
A
Sú dané body \( K=[4;0;3] \), \( L=[1;-3;2] \) a \( M=[2;2;0] \). Z ponúknutých možností vyberte parametrické rovnice, ktoré vyjadrujú rovinu \( \sigma \), danú bodmi \( K \), \( L \) a \( M \).
$\begin{aligned} \sigma\colon x&=1+3r+s, \\ y&=-3+3r+5s, \\ z&=2+r-2s;\ r,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sigma\colon x&=1-3r-s, \\ y&=-3+3r-5s, \\ z&=2+r+2s;\ r,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sigma\colon x&=1-3r+s, \\ y&=-3-3r+5s, \\ z&=2+r-2s;\ r,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \sigma\colon x&=1+3r+s, \\ y&=-3+3r-5s, \\ z&=2-r+2s;\ r,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$