Pochodne

9000070707

Część: 
B
Wyznacz pochodną funkcji. \[ f\colon y = \root{5}\of{x^{2} - 7x} \] Uwaga: Funkcja \(f\colon y = \root{5}\of{x}\) jest określona dla \(x\in \left < 0;\infty \right )\).
\(f^{\prime}(x) = \frac{2x-7} {5(x^{2}-7x)^{\frac{4} {5} }} ;\ x\in \left (-\infty ;0\right )\cup \left (7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{2x-7} {5(x^{2}-7x)^{\frac{4} {5} }} ;\ x\in \left (-\infty ;0\right ] \cup \left [ 7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = (2x - 7)\root{4}\of{x^{2} - 7x};\ x\in \left (-\infty ;0\right )\cup \left (7;\infty \right )\)
\(f^{\prime}(x) = (2x - 7)\root{4}\of{x^{2} - 7x};\ x\in \left (-\infty ;0\right ] \cup \left [ 7;\infty \right )\)

9000070708

Część: 
B
Wyznacz pochodną funkcji. \[ f\colon y =\ln \left (\frac{1 + x} {1 - x}\right ) \]
\(f^{\prime}(x) = \frac{2} {1-x^{2}} ;\ x\in \left (-1;1\right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{2} {1-x^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{-1;1\right \}\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{1-x} {1+x};\ x\in \left (-1;1\right )\)
\(f^{\prime}(x) = \frac{1-x} {1+x};\ x\in \mathbb{R}\setminus \left \{-1;1\right \}\)

9000070807

Część: 
B
Wyznacz pochodną funkcji. \[ f\colon y = \frac{x^{4} + 3} {x^{2}} + x^{3} \]
\(f'(x) = 3x^{2} + 2x - \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 6x^{2} - 2x - \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 3x^{2} + 2x + \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)
\(f'(x) = 6x^{2} - 2x + \frac{6} {x^{3}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\)

9000070808

Część: 
B
Wyznacz pochodną funkcji. \[ f\colon y = \frac{x} {x + 1} \]
\(f'(x) = \frac{1} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = - \frac{1} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = \frac{x} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)
\(f'(x) = - \frac{x} {(x+1)^{2}} ;\ x\in \mathbb{R}\setminus \{ - 1\}\)

2000010801

Część: 
C
Rozważ ruch niejednostajny obiektu, którego położenie w funkcji czasu jest podane przez \[ s=12t-\frac12 t^2, \] gdzie czas \(t\) mierzony jest w sekundach, a położenie \(s\) mierzony jest w metrach. Znajdź chwilową prędkość obiektu w \(8\) sekundach. (Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia względem czasu: \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 4 \,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 64\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)
\( 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\)
W tym momencie obiekt będzie w spoczynku (\( v=0\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\)).

2000010802

Część: 
C
Rozważ ruch niejednostajny obiektu, którego położenie w funkcji czasu jest podane przez \[ s=t^3-t^2+\frac12 t, \] gdzie czas \(t\) mierzony jest w sekundach, a położenie \(s\) mierzony jest w metrach. Znajdź chwilowe przyspieszenie obiektu w czasie \(t = 2\) s. (Wskazówka: Przyspieszenie chwilowe może być wyrażone jako pochodna funkcji prędkości względem czasu, a ponieważ prędkość jest pochodną funkcji położenia, przyspieszenie chwilowe jest jego drugą pochodną: \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).)
\( 10 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 10{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 8{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)
\( 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\)

2000010803

Część: 
C
Mając wykres położenie w funkcji czasu (na czarno) obiektu w ruchu i linię styczną do wykresu w punkcie czasowym \(10\) sekund (na czerwono), znajdź prędkość chwilową tego obiektu w \( 10\) sekund. (Wskazówka: Prędkość chwilową można wyrazić jako pochodną funkcji położenia względem \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\).)
\( 2 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 0{,}5 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 1 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\( 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

2000010804

Część: 
C
Aby dany obiekt poruszał się z równomiernym przyspieszeniem, silnik musi wykonać pracę, która jest powiązana z czasem wzorem \[ W=3t^2, \] gdzie praca \(W\) jest mierzona w dżulach, a czas \(t\) jest mierzony w sekundach. Wyznacz chwilową moc silnika w czasie \(t=4\,\mathrm{s}\). (Wskazówka: Moc chwilową danego obiektu można wyrazić jako pochodną funkcji pracy względem czasu: \(P(t)=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).)
\( 24 \,\mathrm{W}\)
\( 48 \,\mathrm{W}\)
\( 8 \,\mathrm{W}\)
\( 12 \,\mathrm{W}\)