Aplikace určitého integrálu

9000065610

Část: 
A
Vypočítejte pomocí určitého integrálu obsah trojúhelníku, který je popsaný nerovnicemi: \(y > 0\), \(y < x + 3\), \(y < 3 - x\).
\(\int _{-3}^{0}(x + 3)\, \mathrm{d}x +\int _{ 0}^{3}(3 - x)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{0}^{3}(x + 3)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{-3}^{3}(3 - x)\, \mathrm{d}x\)
\(\int _{-3}^{0}(3 - x)\, \mathrm{d}x +\int _{ 0}^{3}(x + 3)\, \mathrm{d}x\)

1003068201

Část: 
B
Hodnotou výrazu \[ \frac{4\pi}9\int\limits_0^3 x^2\mathrm{d}x \] je číslo vyjadřující:
objem kužele o poloměru podstavy \( 2\,\mathrm{cm} \) a výšce \( 3\,\mathrm{cm} \).
objem kužele o poloměru podstavy \( 3\,\mathrm{cm} \) a výšce \( 2\,\mathrm{cm} \).
objem kulové úseče, která je částí koule o poloměru \( \frac23\,\mathrm{cm} \) a má výšku \( 3\,\mathrm{cm} \).
objem kulové úseče, která je částí koule o poloměru \( 3\,\mathrm{cm} \) a má výšku \( \frac23\,\mathrm{cm} \).

1003068202

Část: 
B
Hodnotou výrazu \[ \pi\cdot\int\limits_0^6\left[9-(x-3)^2\right]\,\mathrm{d}x \] je číslo vyjadřující:
objem koule o poloměru \( 3\,\mathrm{cm} \).
objem koule o poloměru \( 6\,\mathrm{cm} \).
objem koule o průměru \( 3\,\mathrm{cm} \).
objem polokoule o poloměru \( 3\,\mathrm{cm} \).

1003118702

Část: 
B
Pomocí určitého integrálu lze vypočítat objem koule o poloměru \( 3 \). Který z uvedených vzorců nelze použít?
\( \int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\int\limits_{0}^3\left(9-x^2\right)\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\int\limits_{-3}^3\left(-\sqrt{9-x^2}\right)^2\,\mathrm{d}x \)

1003118703

Část: 
B
Pravoúhlý lichoběžník je ohraničen přímkami \( y=ax+1 \), \( x=0 \), \( x=6 \) a osou \( x \). Jeho rotací kolem osy \( x \) vznikne komolý kužel. Určete hodnotu parametru \( a > 0 \) tak, aby byl objem tohoto komolého kužele \( 26\pi \).
\( a=\frac13 \)
\( a=\frac12 \)
\( a=3 \)
\( a=2 \)

1003118705

Část: 
B
Petr a Jana počítali objem rotačního tělesa užitím určitého integrálu. Petr počítal objem tělesa vzniklého rotací úsečky s krajními body \( [0;1] \) a \( [5;4] \) kolem osy \( x \). Jana počítala objem tělesa vzniklého rotací úsečky s krajními body \( [0;3] \) a \( [5;0] \) rovněž kolem osy \( x \). Nemohli se pak dohodnout při porovnávání vypočítaných objemů. Které z uvedených tvrzení je pravdivé?
Petrovo těleso má objem o \( 20\pi \) větší.
Janino těleso má objem o \( 20\pi \) větší.
Obě tělesa mají stejný objem.
Rozdíl mezi objemy Petrova a Janina tělesa je \( 10\pi \).

1003118706

Část: 
B
Který z uvedených vzorců nelze použít pro výpočet objemu komolého kužele o výšce \( 4\,\mathrm{cm} \), mají-li jeho podstavy průměry \( 2\,\mathrm{cm} \) a \( 10\,\mathrm{cm} \)?
\( V=\pi\int\limits_0^4(5-x)\,\mathrm{d}x \)
\( V=\pi\int\limits_0^4(5-x)^2\mathrm{d}x \)
\( V=\frac{\pi}3\cdot4\cdot(25+5+1) \)
\( V=\frac{\pi}3\cdot25\cdot5-\frac{\pi}3\cdot1\cdot1 \)

1103068301

Část: 
B
Který vzorec lze použít pro výpočet objemu kužele z obrázku?
\( \pi\cdot\int\limits_0^4\left(-\frac14x+1\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^1\left(-4x+4\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\cdot\int\limits_0^4\left(-\frac14x+1\right)^2\,\mathrm{d}x \)
\( 2\pi\cdot\int\limits_0^1\left(-4x+4\right)^2\,\mathrm{d}x \)

1103068302

Část: 
B
Který vzorec lze použít pro výpočet objemu válce z obrázku? Body \( [0; 0; 0] \) a \( [4;0;0] \) jsou středy podstav.
\( \pi\cdot\int\limits_0^43^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^34^2\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_0^43\,\mathrm{d}x \)
\( \pi\cdot\int\limits_{-4}^49\,\mathrm{d}x \)